衡水万卷作业（十四）
圆锥曲线的综合应用——双曲线
考试时间：45分钟
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、解答题（本大题共4小题，共100分）
2y2x2.设双曲线2?2?1(0?a?b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点，且原点到直线l的距离为3c.
4abx2y21.已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)与圆O:x2?y2?3相切，过C的一个焦点且斜率为3的直线也与圆Oab相切．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）P是圆O上在第一象限的点，过P且与圆O相切的直线l与C的右支交于A、B两点，?AOB的面积为
32，求直线l的方程．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若a?4,点F1,F2分别为双曲线的左.右焦点,现在双曲线右支上取一点p,使?F1PF2?60?,求?F1PF2的面积.
3.已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y?4，双曲线的实轴为x，右焦点F（5，0）
34.已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y??3x是双曲线S的一条渐近线，且原点O.
点A(a,0)和点B(0,?b)）使等式OA?OB?（1）求双曲线S的方程；
（II）若双曲线S上存在两个点关于直线l:y?kx?4对称，求实数k的取值范围.
22224OA?OA成立. 39A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P.A2P分别与直线l：x?交于M.N两点.
5（Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）求证：FM?FN为定值.
衡水万卷作业（十四）答案解析
一、解答题
5.解：（Ⅰ）∵双曲线C与圆O相切，∴ a?3，
过C的一个焦点且斜率为3的直线也与圆O相切，得c?2，既而b?1
x2故双曲线C的方程为3?y2?1
（Ⅱ）设直线l：y?kx?m，(k?0,m?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2) 圆心O到直线l的距离d?m2k2?1，由d?3得m?3k2?3
?由?y?kx?m?x2 得(3k2?1)x2?6kmx?3m2?3?0??3?y2?1 则xx6km3m2?31?2??3k2?1， x1x2?3k2?1 AB?k2?1?x2?x1?k2?1?(x2?x21)?4x1x2
?k2?1?36k2m212(m2?1)236k2(3k2?3)12(3k2?4)(3k2?1)2?3k2?1?k?1?(3k2?1)2?3k2?1 又?AOB的面积S?12OP?AB?32AB?32，∴AB?26 43k2由?13k2?1?26， 解得k??1，m?6，
∴直线l的方程为y??x?6. 6.解:（1）设直线l方程为x?yab?1，即 bx?ay?ab?0，则原点 到直线l的距离d?0?0?ababc.由题意得b2?a2?abc?34c
即ab=34c2，整理得16a2b2?3c4，即16a2(c2?a2)?3c4，整 理，得3c4?16a2c2?16a4?0.两边除以a4，得
3e4?16e2?16?0解得e2?4或e2?43，所以e?2或233. 又因为?b，则e?ca?a20?a?b2ba2?1?(a)2?2， 所以只能取e?2，即双曲线离心率e?2.
（2）由于a=4则c=8，由双曲线定义得
PF1?PF2?2a?8 ①
在?F221PF2中，由余弦定理，得PF1?PF2?2PF1? PF2cos60?4c2?256 ② ①平方后与②相减，得PF1PF2?192，所以 S1?F1PF2?2PF1PF2?sin60??483 ?x2?b4a?（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为：y27.?3?a?3a2?b2?1，则?c?5 ???b?
?c2?a2?b2?4?∴ 所求双曲线方程为
x2y29?16?1 （Ⅱ）A1（－3，0）.A2（3，0）.F（5，0），设P（x,y），M（95,y0），
A1P?(x?3,y)，A241M?(5,y0) ∵ A1.P.M三点共线， ∴(x?3)y240?5y?0 ∴y24y0?5(x?3) 即M(924y5,5(x?3)) 同理得 N(96y5,?5(x?3)) FM?(?1624y166y2565,5(x?3))， FN?(?5,?5(x?3))，FM?FN?25?14425?y2x2?9∵ x29?y2y21616?1 ∴ x2?9?9 ∴ FM?FN?25625?14425?169?25625625?25?0，即FM?FN?0（定值） 8.解：（I）根据题意设双曲线S的方程为x2y2a2?b2?1,
?b?3且???a, 解方程组得a?1,b?3. ???a2?b2?43a2b2?所求双曲线的方程为x2?y23?1. （II）当k?0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l:y?kx?4对称；
当k?0时，设又曲线S上的两点M.N关于直线l对称，l?MN. 设直线MN的方程为y??1kx?m,则M.N两点的坐标满足方程组