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2013—2014学年第二学期闽江学院考试试卷
?即?a??b?1,?3?a?参考答案与评分标准
3??3,………………5’
?a考试课程： 概率统计
??4?b2?4.?b?0.试卷类别：A?卷 B卷? 考试形式：闭卷? 开卷? (2) P{X≤0.5}??0.5??f(x)dx………………6’
适用专业年级：本科各专业
专业班级 姓名 学号
??0.503x2dx………………7’
?x30.5三 四 五 六 七 总分 0?0.125………………8’
题号 一 二 得分
一、计算题(一)14%（第1小题6分，第2小题8分） 得分 二、应用题9%（本题9分） 得分 1、 据以往资料表明，某个三口之家，患某种传染病的概率有以下规律：1、 从今年高考的考生中随机地抽取1000个，算得总分的样本均值483分，样P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲本方差得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率. (乘法公式) 142，若以此作为总体的数学期望与方差的估计值，且假设考生总分服从解：P (AB)= P(A) ×P(B|A)=0.6×0.5=0.3, ………………2’
正态分布，又已知今年的录取率为69.2%，试估计今年的录取线. (查表见卷末)
(正态分布应用)
P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. ……………………4’
解：由已知，今年的考生总分X~N(483,142)
设今年的录取线为a，则由已知，任取一考生，能被录取的概率为69.2%，从而P (ABC)= P (AB) · P(C|AB)=0.3×0.6=0.18. ………………………6’ 即
P{该生能被录取}?P{该生总分X≥a}?0.692（2分）
1?P{X?a}?0.692
2、 设随机变量X的密度函数为f(x)???ax2?b,0?x?1,其它.，数学期望
由于总分X视为连续型随机变量，故
?0,1?F(a)?0.692 （4分）
E(X)?3/4，(1) 求a,b；(2) 求P{X≤0.5}.
解：(1) 由密度函数的规范性和数学期望的定义得
1?0.692?F(a)??(a?483483?a14)?1??(14) （7分）
?????1??(483?a????f(x)dx?1,???0(ax2?b)dx?1,……………3’14)?0.692??(0.5)?483?a14?0.5?a?476（9分） ???3…………2’ 即 ????xf(x)dx?4.???13 0x(ax2?b)dx?4答：估计今年高考的录取线为476分.
考试时间：
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三、填空题24%（每题3分，共8小题） 得分 四、单项选择题16%（每题2分，共8小题） 得分 1、 设事件A,B都不发生的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.8，则A,B都发生
的概率为_0.1_.(事件运算与概率计算公式) 2、 设P(B)?0.5,P(A1、 关于两事件之间的关系，下列说法正确的是（ C ）(事件关系).
A、两事件互斥则必对立 C、两事件对立则必互斥
B、两事件互斥则必独立 D、两事件对立则必独立
B)?0.9，那么, (事件关系与概率计算公式)
(1) 若A,B互不相容，则P(A)? 0.4____;(1分) (2) 若A,B相互独立，则P(A)?__0.8____.(2分)
3、 从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位奇数的概率为
____4/9______.(古典概型)
2、 事件A,B相互独立， P(A)?0.6,P(AB)?0.3, 则 P(AB)?（ A ）.
(事件独立性). A、0.15
B、0.2
C、0.25
D、0.1
3、 下列说法错误的是( A ) . (基本概念与基本结论)
X4、 设离散型随机变量X的分布律为
P?2?1010 ，则c? 1/1 4c3c2ccA、随机变量数学期望的值必非负 B、分布函数的值必非负
C、连续型随机变量取一个值的概率为0 D、密度函数的值必非负
(1分)， P(X≤1)? 0.6 (2分). (分布律规范性及其应用)
X(或Y)?114、 随机变量X与Y相互独立且服从同一分布，其分布律为 ，
P0.50.5那么下列正确的是( A ) (二维离散型随机变量独立性) A、P{X?Y}?0.5 C、P{X?Y?0}?0.25 5、 设随机变量X、Y相互独立，且X的是( B ) . (正态分布的可加性) A、P{X?Y?0}?0.5 C、P{X?Y?0}?0.5 A、2E(X)?3E(Y)?1 C、2E(X)?3E(Y)?1 A、D(X)?2D(Y)?3 C、D(X)?4D(Y) 8、 已知总体X~N(1,2)，X1,B、P{X?Y?1}?0.5 D、P{X?Y?1}?0.5 B、2E(X)?3E(Y) D、2E(X)?3E(Y) B、D(X)?2D(Y)?3 D、D(X)?4D(Y) B、P{X?Y}?1 D、P{XY?1}?0.25
?0,?0.3,?5、 设离散型随机变量Ｘ的分布函数为F(x)???0.6??1x??1,?1?x?1,2则Y?2X1?x?2,2?x.N(0,1)， YN(1,2)，则下列正确
Y28的分布律为.(分布函数应用及随机变量函数分布)
P0.60.46、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(二维连续型密度函数)
?c,0?x?2,0?y?1,f(x,y)??，
?0,其它.则常数c? 1/2 (1分)，P{X?Y≤1}? 1/4 (2分).
7、 已知随机变量X~E(?)?E(3)，则E(X2?3X?6)? 3 . 8、 已知随机变量X的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计X落
在6到18之间的概率为___?3/4____．
考试时间：
共7页 第3页
6、 对于随机变量X,Y，数学期望E(2X?3Y?1)?（ A ）. (数学期望)
7、 设随机变量X,Y相互独立，则方差D(X?2Y?3)?（ D ）. (方差)
,X10是来自总体的一个样本，则样本均值
C、N(0.1,0.2)
D、N(0.1,2)
X~( B ). (统计基础知识)
A、N(1,2)
B、N(1,0.2)
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五、计算题(二)22% （第1题10分，第2题12分，） 得分 1、 （10分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
(2)设x(1)?min{x1,x2,,xn},x(n)?max{x1,x2,,xn}. X的概率密度为
?2e?(x?2y),x?0,y?0f(x,y)??,
其它?0,求：(1) (X,Y)的边缘密度函数；(2) 问X、Y是否独立？为什么？
(边缘分布与二维连续型随机变量的独立性) 解：(1) fX(x)??1,a?x?1,?f(x)??1?a
?其它.?0,因为a?x1,,xn?1等价于a?x(1),x(n)?1,所以似然函数
????????x?2y?x???02eedy?e,f(x,y)dy???0,???x?0其它?1,a?x(1),x(n)?1,?n-------------------------------------8分 L(a)??(1?a)?0,其它.?对于满足a?x(1),x(n)?1,的任意a有
（4分）
fY(y)???????2y?x?2y???02eedx?2e,y?0f(x,y)dx?? （8分）
?0,其它?L(a)?11? nn(1?a)(1?x(1))即L(a)在a?x(1)时，取最大值.
(2) 因为f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X、Y独立. （10分）
2、 (12分)设X1,X2,??min{X1,X2,故a的极大似然估计量a
,X(n)}.------------------------12分
,Xn是来自总体X的样本，X在[a,1]上服从均匀分布，
六、综合题10%（本题10分） 得分 a?1为未知参数。x1,x2,,xn是相应于X1,X2,,Xn的样本观察值，求（1）a的矩估计量；（2）a的极大似然估计量. (参数的点估计)
解：(1)根据矩估计法，令总体均值等于样本均值，即
1、 一大批种子，良种占20%，从中任选10000粒。试计算其良种率与20%之差小于1%的概率. (查表见卷末) (二项分布与中心极限定理) 解 考察每粒种子是否为良种是做伯努利试验，每粒种子是否为良种可以认为是相互独立的，故考察这10000粒中的良种粒数是做n?10000重伯努利试验，其中的良种数目X~B(10000,0.2) （2分）
由中心极限定理，得X~N(2000,40) （4分）
近似21nE(X)??Xi.
ni?1于是有
1?a1n ??Xi.
2ni?1因此a的矩估计量
XP(?0.2?0.01)?P(X?2000?100) （6分） 10000?P{X?2000?2.5} （8分） 402n??1??Xi.---------------------------------------------------------------4分 ani?1考试时间：
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??(2.5)?0.994 （10分）
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