§10.3 二项式定理
最新考纲 1.了解二项式定理. 2.理解二项式系数的性质. 考情考向分析 以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中档.
1.二项式定理 二项式定理 二项展开式的通项公式 二项式系数 2.二项式系数的性质 (1)Cn＝1，Cn＝1. Cn＋1＝Cn＋Cn. (2)Cn＝Cn.
(3)当n是偶数时，Tn项的二项式系数最大；当n是奇数时，Tn?1与Tn?1项的二项式系数
2?122?1
mn－mmm－1
m0
(a＋b)＝Cna＋Cnan0n1n－11n－kkn*b＋…＋Ckb＋…＋Cnnanb(n∈N) n－kkTk＋1＝Ckb，它表示第k＋1项 na二项展开式中各项的系数Cn(k∈{0，1，2，…，n}) kn相等且最大.
(4)(a＋b)展开式的二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2. 概念方法微思考
1.(a＋b)与(b＋a)的展开式有何区别与联系？
提示 (a＋b)的展开式与(b＋a)的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项展开式形式上有什么特点？ 提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第
1
nnnnn0
1
2
nn一项起，次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn，Cn.
3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？
提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.
0
1
n－1n
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)Cnakn－kkb是二项展开式的第k项.( × )
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (3)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.( √ ) (4)(a－b)的展开式第k＋1项的系数为Cnannnkn－kknb.( × )
(5)(x－1)的展开式二项式系数和为－2.( × ) 题组二 教材改编
2.[P31例2(2)](1＋2x)的展开式中，x的系数等于( ) A.80B.40C.20D.10 答案 B
解析 Tk＋1＝C5(2x)＝C52x，当k＝2时，x的系数为C5·2＝40.
kkkkk2
2
2
5
2
?1?n3.[P31例2(2)]若?x＋?展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
?
x?
A.10B.20C.30D.120 答案 B
解析 二项式系数之和2＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C6·x当k＝3时为常数项，T4＝C6＝20.
4.[P41B组T5]若(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x，则a0＋a2＋a4的值为( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8. 题组三 易错自纠
5.(x－y)的二项展开式中，第m项的系数是( ) A.Cn C.Cn
m－1mn4
2
3
4
3
nk6－k?1?kk6－2k·??＝C6x，当6－2k＝0，即x??
B.Cn D.(－1)
m－1m－1
nm＋1
C
2
答案 D
解析 (x－y)二项展开式第m项的通项公式为
－1m－1n－m＋1
Tm＝Cmx， n(－y)
n所以系数为Cn(－1)
10
m－1m－1
.
2
10
*
6.已知(x＋1)＝a1＋a2x＋a3x＋…＋a11x.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N)是一个单调递增数列，则k的最大值是( ) A.5B.6C.7D.8 答案 B
解析 由二项式定理知，an＝C10(n＝1，2，3，…，11). 又(x＋1)展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a6＝C10，则k的最大值为6.
7.(xy－yx)的展开式中，xy项的系数为________. 答案 6
解析 二项展开式的通项是Tk＋1＝C4(xy)
k4－k4
33
510
n－1
·(－yx)＝(－1)Cx22
kkk24?k2y2?k2，令4－＝2＋
2
kk2
＝3，解得k＝2，故展开式中xy的系数为(－1)C4＝6.
33
题型一 二项展开式
命题点1 求指定项(或系数)
?1?62
例1 (1)?1＋2?(1＋x)的展开式中x的系数为( )
x?
?
A.15B.20C.30D.35 答案 C
1?1?6kk62224
解析 因为(1＋x)的通项为C6x，所以?1＋2?(1＋x)的展开式中含x的项为1·C6x和2·C6
x??
xx4.
6×5242
因为C6＋C6＝2C6＝2×＝30，
2×1
?1?62
所以?1＋2?(1＋x)的展开式中x的系数为30.
x?
?
3
故选C.
(2)(2018·温州市高考适应性测试)在?A.C9 C.8C9 答案 D
3k－91?9－k3k－9?1－2x?9kkk?k解析 二项式?令?的展开式的通项公式为C9??(－2x)＝(－2)C9x2，
2?x??x?
33
?1－2x?9
?的展开式中，常数项是( )
?x?
B.－C9 D.－8C9
33
?1－2x?9333
＝0，得k＝3，则二项式??的展开式中的常数项为(－2)C9＝－8C9，故选D.
?x?
(3)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数是________. 答案 12
解析 方法一 (x＋x＋y)＝[(x＋x)＋y]， 其展开式的第k＋1项的通项公式为Tk＋1＝C4(x＋x)因为要求xy的系数，所以k＝2， 所以T3＝C4(x＋x)
2
22
2
4－22
32
2
4
2
4
2
4
32
k24－kky，
y＝6(x2＋x)2y2.
3
因为(x＋x)的展开式中x的系数为2， 所以xy的系数是6×2＝12.
方法二 (x＋x＋y)表示4个因式x＋x＋y的乘积，
在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x，即可得到含xy的项，
故xy的系数是C4·C2·C1＝12. 命题点2 求参数
32
2
1
1
32
2
2
4
2
32
?1?1026
例2 (1)若(x－a)?x＋?的展开式中x的系数为30，则a等于( )
?
x?
11
A.B.C.1D.2 32答案 D
?1?10?1?kk10－2k，?x＋1?10的展k10－k解析 由题意得?x＋?的展开式的通项公式是Tk＋1＝C10·x·??＝C10x??
?
x?
?x??x?
开式中含x(当k＝3时)，x(当k＝2时)项的系数分别为C10，C10，因此由题意得C10－aC10＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.
15?21?6
(2)若?x＋?的展开式中常数项为，则实数a的值为( )
ax?16?11
A.±2B.C.－2D.±
22
4
463232