答案 A
?21?6?1?kk?1?k12－3k，令12－3k＝0， k26－k解析 ?x＋?的展开式的通项为Tk＋1＝C6(x)·??＝C6??xaxaxa?
?
??
??
得k＝4.
?1?415?1?414
故C6·??＝，即??＝，解得a＝±2，故选A.
?a?16?a?16
思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
?1?63
跟踪训练1 (1)(2018·浙江七彩阳光联盟联考)?1－2?(1＋x)的展开式中x的系数为
x?
?
__________. 答案 14
1633635
解析 在(1＋x)的展开式中x的系数为C6＝20，2·(1＋x)的展开式中x的系数为C6＝6，
x?1?63
所以?1－2?(1＋x)的展开式中x的系数为20－6＝14.
?
x?
(2)(2018·丽水、衢州、湖州三地教学质量检测)若?x－2?的展开式中x的系数为－12，则
x??
a?6
3
?
a＝______；常数项是________.
答案 2 60
解析 由于二项展开式的通项Tk＋1＝C6x1
k6－k?－a2?k＝(－a)kCkx6－3k，令6－3k＝3，则k＝1，所?x?6??
22
以(－a)C6＝－6a＝－12，a＝2；令6－3k＝0，则k＝2，所以常数项是(－2)C6＝4×15＝60. 题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题
4
例3 (1)(a＋x)(1＋x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________. 答案 3
解析 设(a＋x)(1＋x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
(2)若(x＋2＋m)＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)＋…＋a9(x＋1)，且(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)＝3，则实数m的值为________. 答案 1或－3
解析 令x＝0，则(2＋m)＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
5
9
2
9
9
2
9
2
4
2
3
4
5
令x＝－2，则m＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝3， ∴(2＋m)·m＝3，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1.
9
9
9
9
2
2
9
?21?nn2n(3)若?x－?的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则a1＋
?
x?
a2＋…＋an的值为________.
答案 255
?21?n解析 ?x－?展开式的第k＋1项为
?
x?
2n－kkkk2n－3kTk＋1＝Ck·?－?＝Cn(－1)x， n(x)
?x?
?1?当k＝5时，2n－3k＝1，∴n＝8. 对(1－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a8x， 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝2＝256. 又当x＝0时，a0＝1， ∴a1＋a2＋…＋a8＝255.
思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)，(ax＋bx＋c) (a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝
2
8
8
2
8
n2mnf?1?＋f?－1?
2
7
，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝
2
7
f?1?－f?－1?
2
.
跟踪训练2 已知(1－2x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a7x. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1.①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝3.② (1)∵a0＝C7＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2，
－1－3得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.
2
7
0
7
6
(3)(①＋②)÷2，
－1＋3
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.
2
(4)方法一 ∵(1－2x)展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.
方法二 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋2x)展开式中各项的系数和，令x＝1， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝3＝2187.
题型三 二项式定理的应用例4 (1)设a∈Z且0≤a<13，若51A.0B.1C.11D.12 答案 D 解析 51
2012
2012
20127
7
7
7
＋a能被13整除，则a等于( )
＋a＝(52－1)＋a，
1
2011
2012
＋a＝C2012·52
02012
－C2012·52
12011
＋…＋C2012·52·(－1)
20112011
＋
C2012·(－1)∵C2012·52
20120
2012
2012
－C2012·52
2012
＋…＋C2012·52·(－1)
20112011
能被13整除且51
2012
＋a能被13整除，
∴C2012·(－1)＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.
(2)设复数x＝A.i C.－1＋i 答案 C 解析 x＝
1
2
2i1223320172017
(i是虚数单位)，则C2017x＋C2017x＋C2017x＋…＋C2017x等于( ) 1－i
B.－i D.－1－i
2i2i?1＋i?＝＝－1＋i， 1－i?1－i??1＋i?
2
3
3
20172017
C2017x＋C2017x＋C2017x＋…＋C2017x＝(1＋x)
2017
－1＝i
2017
－1＝i－1.
思维升华 (1)逆用二项式定理的关键
根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.
(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系； ②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论.
跟踪训练3 (1)1－90C10＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10除以88的余数是( )
7
1
22
33
kkk1010
A.－1B.1C.－87D.87 答案 B
解析 1－90C10＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10＝(1－90)＝89＝(88＋1)＝88＋C1088＋…＋C1088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1. (2)若(1－2x)答案 －1
解析 当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1. 1a1a2a2018
当x＝时，左边＝0，右边＝a0＋＋2＋…＋2018，
2222∴0＝1＋＋2＋…＋2018， 222即＋2＋…＋2018＝－1. 222
2018
10
1
9
9
1
22
33
kkk1010101010
＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2018x22018
，则＋2＋…＋2018＝________.
222
a1a2a2018
a1a2a2018
a1a2a2018
?22?6
1.在?x－?的展开式中，常数项为( )
?
x?
A.－240B.－60C.60D.240 答案 D
2?k?22?6k26－k?kk12－3k解析 ?x－?的展开式中，通项公式为Tk＋1＝C6(x)?－?＝(－2)C6x，令12－3k＝0，
?x??x?
得k＝4，故常数项为T5＝(－2)C6＝240，故选D.
1?5?3
2.(2018·杭州质检)二项式?2x－?的展开式中含x项的系数是( )
44
?x?
A.80B.48C.－40D.－80 答案 D
1?5??1?kk5－kk5－kk5－2k解析 ∵?2x－?展开式的通项为Tk＋1＝C5(2x)·?－?＝(－1)2C5x，5－2k＝3，则
?x??x?
33
k＝1，∴含x3的项为T2＝(－1)124C15x＝－80x，其中系数为－80，故选D.
3.(x＋y)(2x－y)的展开式中xy的系数为( ) A.－80B.－40C.40D.80 答案 D
解析 (2x－y)的展开式的通项公式为Tk＋1＝C6(2x)
6
643
k6－k(－y)，当k＝2时，T3＝240xy，当kk42
8