梅涅劳斯定理与塞瓦定理

梅涅劳斯定理与塞瓦定理

板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理

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梅涅劳斯定理:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,

AFBDCE那么???1.这条直线叫△ABC的梅氏线,△ABC叫梅氏三角形.

FBDCEAAGFAAFGEBCDBH1ECDFH2EH3CD

B

证法一:如左图,过C作CG∥DF

DBFBECFG∵, ??DCFGAEAFAFBDCEAFFBFG∴??????1. FBDCEAFBFGAF证法二:如中图,过A作AG∥BD交DF的延长线于G

AFAGBDBDCEDC∴,, ???FBBDDCDCEAAGAFBDCEAGBDDC三式相乘即得:??????1.

FBDCEABDDCAG证法三:如右图,分别过A、H2、H3. B、C作DE的垂线,分别交于H1、则有AH1∥BH2∥CH3,

AFBDCEAH1BH2CH3所以??????1.

FBDCEABH2CH3AH1梅涅劳斯定理的逆定理:若F、D、E分别是△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点,

AFBDCE如果???1,则F、D、E三点共线.

FBDCEA

夯实基础

【例1】 如图,在△ABC中,AD为中线,过点C任作一直线交AB于点F,交AD于点E,求

证:AE:ED?2AF:FB.

AFEBDC

【解析】 ∵直线FEC是△ABD的梅氏线,

AEDCBFDC1AE1BFAE2AF∴. ???1. 而?,∴???1,即?EDBCFABC2ED2FAEDBF

习题1. 在△ABC中,D是BC的中点,经过点D的直线交AB于点E,交CA的延长线于点

FAEA. ?F.求证:

FCEBFAEBDC

【解析】 直线截△ABC三边于D、E、F三点,应用梅氏定理,知

CDBEAF???1,又因为DBEAFCBD?BC,所以

BEAFFAEA. ??1,即?EAFCFCEB

习题2. 如图,在△ABC中, ?ACB?90?,AC?BC.AM为BC边上的中线,

AE. CD?AM于点D,CD的延长线交AB于点E.求EBCMDAEB

【解析】 由题设,在Rt△AMC中,CD?AM,AC?2CM,

ADAD?AMAC2由射影定理???4.

DMDM?AMCM2AEBCMDAE21对△ABM和截线EDC,由梅涅劳斯定理,???1,即???1.

EBCMDAEB14AE所以?2.

EB

探索提升

【例2】 如图,在△ABC中,D为AC中点,BE?EF?FC,求证:BM:MN:ND?5:3:2. ADMBENFC

【解析】 ∵直线AE是△BCD的梅氏线,

BMDACE∴???1. MDACEBBM12BM1∴???1,∴? MD21MD1∵直线AF是△BCD的梅氏线, BNDACF∴???1, NDACFBBN11BN4∴???1,?. ND22ND1∴BM:MN:ND?5:3:2.

习题3. 如图,在△ABC中,D为BC的中点,AE:EF:FD?4:3:1.求AG:GH:AB.

AGEHB【解析】 ∵HFC是△ABD的梅氏线,

FDC

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