切线长定理与三角形内切圆
一、 基础知识点
(一) 知识点一：切线长定理
1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
2. ? ?
3.
切线和切线长是两个不同的概念
切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
注：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 4.
方法总结
解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
（1）分别连结圆心和切点（2）连结两切点（3）连结圆心和圆外一点 5.
切线，常有六 性质
1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 6. 例1
如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD 示例讲解
例2
例3
(二) 知识点二：三角形的内切圆 1. 2.
问题：怎样做三角形内切圆 方法：作角平分线
1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.。。2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D.。。3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆. 3. 4.
定义
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 性质
内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。
5. 外心与内心
名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外接圆三角形三边中垂线的(1) OA=OB=OC； 的圆心） 交点 (2) 外心不一定在三角形的内部． 内心（三角形内切圆三角形三条角平分线（1）到三边的距离相等； 的圆心） 的交点 （2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ ACB； （3）内心在三角形内部． 6. 示例讲解
例4如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。
例5
(三) 知识点三：三角形内切圆的半径 1.
常见结论
(1) 如图，⊙I切△ABC三边于点 D、E、F，则
AD=AF=
12(AB?AC?BC) BD=BE=12(AB?BC?AC) CE=CF=12(AC?BC?AB)S1ABC?r(AB?BC?AC) (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，边
2BC、AC、AB的长分别为a、b、c，内切圆O的半径r
r?a?b?c2?aba?b?c
(3) 等边三角形ABC，AB=a，的内切圆的半径为r，外接圆的半径为R R?33a ,r=36a 例7
例8
二、 题型及易错点
题型一：切线长定理的应用。。。题型二：已知三角形三边长，求内切圆半径。。。题型三：求与三角形内切圆相关的角度(一) 易错点一：误认为切线长定理有逆定理
误认为两条线条相等，若一条线段是圆的切线，则另一条线段也为圆的切线 (二) 易错点二：混淆三角形内心和外心的概念
内心是角平分线的交点 外心是垂
直
平
分
线
的
交
点