17817???8?2解：设z?x?iy，由z?1?4z?1??x?，表示以为圆心半径为z???y????151515???15?的圆的外部（不含圆周），是无界的多连通域。 8) z?2?z?2?6；
解：z?2?z?2?6表示以z?2与z??2为焦点长半轴a?3短半轴b?界的单连通闭域。 9) z?2?z?2?1；
225的椭圆及其内部，是有
解：z?2?z?2?1表示以z?2与z??2为焦点实半轴a?左侧，是无界的单连通域。 10) zz??2?i?z??2?i?z?4。
151虚半轴b?的双曲线左边一支的
222解：设z?x?iy，由zz??2?i?z??2?i?z?4??x?2???y?1??3，表示以点z?2?i为圆
22心半径为3的圆及其内部，是有界的单连通闭域。
23． 证明复平面上的直线方程可写成：az?az?c，（a?0为复常数，c为实常数）。 证明：设点z?x?iy在直线上，则直线方程可写成：Ax?By?c ?A,B,c?R?
11z?z?x，z?z?y 22i11?Az?z?Bz?z?c 22i11整理得：?A?iB?z??A?iB?z?c
2211令a??A?iB?，则a??A?iB?。因为A,B不全为零，所以a?0。
22又?????????? az?az?c 是复平面上的直线方程（a?0为复常数，c为实常数）。
24． 证明复平面上的圆周方程可写成：zz?az?az?c?0（其中a为复常数，c为实常数）。 证明：设点z?x?iy在圆上任意一点，点z0?x0?iy0为圆心，半径为a，则圆的方程为：
?x?x0?2??y?y0?2?a2
11?1??1??z?z?x，z?z?y。代入上式，得：?z?z?x0???z?z?y0??a2。 22i?2??2i???????2??222整理得：zz??x0?iy0?z??x0?iy0?z?x0?y0?a2?0 222令x0?y0?a?c，????x0?iy0?，????x0?iy0?
? zz??z??z?c?0 是复平面上的圆的方程（?为复常数，c为实常数）。
25． 将下列方程（t为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出： 1) z?t?1?i?；
解：设z?x?iy，则z?x?iy?t?1?i? ? ?2) z?acost?ibsint，（a,b为实常数）；
?x?t ? y?x
?y?t?x?acostx2y2解： 设z?x?iy，则z?x?iy?acost?ibsint ? ? ? 2?2?1
ab?y?bsint3) z?t?i； t?x?ti1?解：设z?x?iy，则z?x?iy?t? ? ?1 ? y?
txy??t?4) z?t?2i； 2t?x?t2i1?2??x?0,y?0? 解：设z?x?iy，则z?x?iy?t?2 ? ? y?1xt?y?2t?5) z?acht?ibsht，（a,b为实常数）；
?x?achtx2y222解：设z?x?iy，则z?x?iy?acht?ibsht ? ? ? 2?2?1?cht?sht?1
ab?y?bsht6) z?ae?beit?it；
it?it解：设z?x?iy，则z?x?iy?ae?be?x??a?b?costx2y2?? ? ??1 22??y?a?bsint?a?b??a?b??7) z?e，（??a?bi为复数）。
?t解：设z?x?iy，则z?x?iy?e?t?e?a?bi?t?x2?y2?e2at??x?ecosbt???? ?yat??y?esinbt??tanbt?xat?x2?y2?e2at2ayarctan?22bx? ? 1y ? x?y?e?t?arctanbx?26． 函数w?221把下列z平面上的曲线映射成w平面上怎样的曲线？ z1) x?y?4；
x?
u??x2?y21?
解：设z?x?iy，w?u?iv，则?w? ? ?
?yz?v?
?x2?y2?
2222 ?x?y?4 ? u?v?1是w平面上的圆。 42) y?x；
x?
u??x2?y21?
解：设z?x?iy，w?u?iv，则?w? ? ?
?yz?v?
?x2?y2?
?x?y ? u??v且z?0是w平面上的直线。 3) x?1；
x?u??x2?y21?
解：设z?x?iy，w?u?iv，则?w? ? ?
?yz?v?
?x2?y2?
1?1? ?x?1 ? u?u?v ? ?u???v2?是w平面上的圆。
2?4?2224)
?x?1?2?y2?1。
x?u??x2?y21?解：设z?x?iy，w?u?iv，则?w? ? ?
?yz?v??x2?y2?222 ??x?1??y?1 ? x?y?2x ? u?21是w平面上的直线。 227． 已知映射w?z，求： 1) 点z1?i，z2?1?i，z3?33?i在w平面上的象；
3333解：w1?z1?i??i w2?z2??1?i???2?2i
3w3?z3??3?i?3??2?2i?8i
2) 区域0?argz?解：?0?argz??3在w平面上的象。
?3 ?0?argw??3?3 ? ?0?argw??
28． 证明§6定理二与定理三。
定理二 如果1) 2)
limf?z??A，limg?z??B，那么
z?z0z?z0lim?f?z??g?z???A?B；
z?z0lim?f?z??g?z???AB；
z?z03) 证明：
limz?z0f?z?A??B?0? g?z?B1) ?limf?z??A，limg?z??B，则???0
z?z0z?z0 ??1?0，使0?z?z0??1时，有f?z??A? ??2?0，使0?z?z0??2时，有g?z??B??2
?2 取??min??1,?2?，则当0?z?z0??时，必有
?f?z??g?z????A?B??f?z??A?g?z??B??2??2??成立。
故2) ?lim?f?z??g?z???A?B。
z?z01limg?z??B，则??z?z0z?z0?0及M?0，使0?z?z0??1时，g?z??M
???0，?limf?z??A，???2?0，使0?z?z0??2时，有f?z??A???M?A
；
又?limg?z??B，故存在?3?0，使0?z?z0??3时，有g?z??B?z?z0M?A 取??min??1,?2,?3?，则当0?z?z0??时，必有
f?z?g?z??AB?f?z?g?z??Ag?z??Ag?z??AB?故
?M?AM?A?M?A??
lim?f?z??g?z???AB。
z?z03) ?limg?z??B?B?0?，则??1?0及M?0，使0?z?z0??1时，g?z??z?z0B2
???0，?limf?z??A，limg?z??B???z?z0z?z02?0，使0?z?z0??2时，有
B2? f?z??A?2?A?B?B2? ??3?0，使0?z?z0??3时，有g?z??B?
2?A?B? 取??min??1,?2,?3?，则当0?z?z0??时，必有
Bf?z??Ag?z?Bf?z??AB?Ag?z??ABB?f?z??A??A?g?z??B?f?z?A????g?z?Bg?z??Bg?z??Bg?z??B ?Bf?z??A?Ag?z??Bg?z??B?B2?B2?B?A2?A?B?2?A?B?B22??
故
limz?z0f?z?A??B?0?。 g?z?Bu?x,y?和v?x,y?定理三 函数f?z??u?x,y??iv?x,y?在z0?x0?iy0处连续的充要条件是：
在点?x0,y0?处连续。
证明：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z0?x0?iy0处连续，?
0000limf?z??f?z?，即
0z?z0lim?u?x,y??iv?x,y???u?x,y??iv?x,y? ?
z?z0x?x0,y?y0limu?x,y??u?x,y?，limv?x,y??v?x,y?
0000x?x0,y?y0 即u?x,y?和v?x,y?在点?x0,y0?处连续。
29． 设函数f?z?在z0连续且f?z0??0，那么可找到z0的小邻域，在这邻域内f?z??0。 证明：?f?z0??0 ?f?z0??0 函数f?z?在z0连续，即 可取??limf?z??f?z?
0z?z01f?z??0，存在?????0，使得当z?z0?????时，有 21f?z0? f?z??f?z0????21f?z0? 又f?z0??f?z??f?z??f?z0? ? f?z0??f?z??211f?z0??f?z0??0 ?f?z??f?z0??22