第18讲 锐角三角函数
锐角三角函数的概念
在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,如图所示,sin A== ;cos A=
=;tan A= =.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的 .
特殊角的三角函数值
三角函数 锐角α 30° sin α cos α tan α 45° 1 60° 解直角三角形
1.常用的边角关系:在Rt△ABC中,∠C是直角,(1)三边关系(勾股定理):AC2+BC2= ;(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B= ;边角之间的关系:sin A= =,cos A=sin B= ,tan A= .
2.解直角三角形的应用
(1)仰角和俯角:如图所示,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做 ,在水平线下方的叫做 .
(2)坡度(坡比)和坡角:如图所示,通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫坡度(坡比),用字母i表示,即
i=;坡面与水平面的夹角叫做 ,记作α,所以i==tan α.
(3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角,如图所示:OA的方向角为 ;OC的方向角为 .
锐角三角函数的概念(易错点)
[例1]
(2019宜昌)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin ∠BAC的值为( )
(A) (B) (C) (D)
思路点拨:过点C作CD⊥AB于点D,用勾股定理求出AC,然后在Rt△ACD中根据三角函数的定义求出sin ∠BAC的值.
解决与网格有关的三角函数求值问题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形,根据网格长确定直角三角形的边长,再依据锐角三角函数的定义求解. 特殊角的三角函数值
[例2] 计算:
(1)sin 30°-cos 45°+tan60°;
2
(2)-3sin 60°+2cos 45°.
思路点拨:先把各特殊角的三角函数值代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.
解直角三角形与边角关系的综合
[例3]
如图,在△ABC中,BC=12,tan A=,∠B=30°,求AC和AB的长.
思路点拨:作CH⊥AB于点H,解Rt△BCH求出CH,BH,解Rt△ACH求出AH,AC,则结果可得.
解直角三角形的题目要注意 (1)若是直角三角形,直接应用直角三角形的边角关系和勾股定理求解; (2)若是锐角三角形或钝角三角形,通常作高构造直角三角形求解. 解直角三角形的实际应用
[例4]
(2019宜宾)如图,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.延长FE交AB于点M,求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)
思路点拨:设AM=x米,在等腰Rt△AFM中求出FM=x米,在Rt△AEM中tan ∠AEM=列方程,解方程求解.
,用x表示出EM,根据FM-EM=EF
(1)解决解直角三角形的实际应用问题,关键是根据已知条件,准确地画出图形或根据已知图形找到包含相关的角(如仰角、俯角、方向角等)在内的直角三角形,再应用三角函数的定义或特殊角的三角函数值解题; (2)若三角形不是直角三角形,可通过添加辅助线,构造直角三角形来解决.在求解过程中常常利用方程求解,充分体现了转化思想、方程思想在解直角三角形中的应用.
1.(2019天津)2sin 60°的值等于( ) (A)1 2.
(B)
(C)
(D)2
(2019广州)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan ∠BAC=,则此斜坡的水平距离AC的长为( ) (A)75 m (B)50 m (C)30 m (D)12 m 3.
(2018绵阳)如图,一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,那么海岛B离此航线的最近距离是( ) (结果保留小数点后两位)(参考数据:(A)4.64海里 (B)5.49海里 (C)6.12海里 (D)6.21海里
≈1.732,
≈1.414)
4.(2019甘肃)在△ABC中,∠C=90°,tan A=,则cos B= . 5.(2018无锡)已知△ABC中,AB=10,AC=2
,∠B=30°,则△ABC的面积等于 .