平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
知识点一 平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
思考 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b？上述结论是怎样推导的？
答案 推导：∵a＝x1i＋y1 j，b＝x2i＋y2 j， ∴a·b＝(x1i＋y1 j)·(x2i＋y2 j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2. 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2. 知识点二 平面向量的模
2(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y1.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)， →
则|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
思考 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式． →→→
答案 推导：∵AB＝OB－OA ＝(x2，y2)－(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1)， →
∴|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. 知识点三 平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
x1x2＋y1y2a·b
cos θ＝＝222. |a||b|x1＋y1·x22＋y2
特别地，若a⊥b，则有x1x2＋y1y2＝0； 反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
思考 (1)已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b则x＝________. (2)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________．
(3)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形． 3
答案 (1)2 (2)π (3)直角
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题型一 平面向量数量积的坐标运算 例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0， a·b＝1×2＋2×4＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
跟踪训练1 已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标． 解 ∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)， ∴5a－b＝(－11，－10－k)． b－3a＝(5，k＋6)，
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6) ＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55， ∴(k＋10)(k＋6)＝0， ∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)． 题型二 平面向量的夹角问题
例2 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角． 解 设a与b的夹角为θ， 则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0， 1所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
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(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且