平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．
知识点一 平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
思考 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b？上述结论是怎样推导的？
答案 推导：∵a＝x1i＋y1 j，b＝x2i＋y2 j， ∴a·b＝(x1i＋y1 j)·(x2i＋y2 j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1 j·i＋y1y2 j2. 又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， ∴a·b＝x1x2＋y1y2. 知识点二 平面向量的模
2(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y1.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)， →
则|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
思考 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式． →→→
答案 推导：∵AB＝OB－OA ＝(x2，y2)－(x1，y1) ＝(x2－x1，y2－y1)， →
∴|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. 知识点三 平面向量夹角的坐标表示
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
x1x2＋y1y2a·b
cos θ＝＝222. |a||b|x1＋y1·x22＋y2
特别地，若a⊥b，则有x1x2＋y1y2＝0； 反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
思考 (1)已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b则x＝________. (2)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________．
(3)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形． 3
答案 (1)2 (2)π (3)直角
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题型一 平面向量数量积的坐标运算 例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵b·c＝1×2－2×1＝0， a·b＝1×2＋2×4＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
跟踪训练1 已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，试求b的坐标． 解 ∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)， ∴5a－b＝(－11，－10－k)． b－3a＝(5，k＋6)，
∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6) ＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55， ∴(k＋10)(k＋6)＝0， ∴k＝－10或k＝－6，
∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6)． 题型二 平面向量的夹角问题
例2 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角． 解 设a与b的夹角为θ， 则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0， 1所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
2
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1， 所以a·b<0且a与b不反向． 1由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
2
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向． 1
－∞，－?. 所以λ的取值范围为?2??
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a·b>0且a，b不同向．
1
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2.
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－，2?∪(2，＋∞)． 所以λ的取值范围为??2?
跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)， ∴|a|＝2，|b|＝1＋λ2，a·b＝λ－1. ∵a，b的夹角α为钝角．
?λ<1，?λ－1<0，?
?2∴?即 2?λ＋2λ＋1≠0.??21＋λ≠1－λ，
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
题型三 平面向量数量积坐标形式的综合运用
→
例3 已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．
解 设D点坐标为(x，y)，
→→
则AD＝(x－2，y＋1)，BC＝(－6，－3)， →
BD＝(x－3，y－2)，
→→
∵D在直线BC上，即BD与BC共线， →→
∴存在实数λ，使BD＝λBC， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
??x－3＝－6λ∴?. ??y－2＝－3λ