高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练:第一部分 专题五 立体几何 1-5-3 Word版含答案

限时规范训练十四 空间向量与立体几何

一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)

限时45分钟,实际用时

分值81分,实际得分

1.(2017·山东青岛模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面

ACC1A1所成角的正弦值等于( )

A.6 42 2

B.

10 43 2

C.D.

解析:选A.如图所示建立空间直角坐标系,设正三棱柱的棱长为2,则O(0,0,0),B(3,→

0,0),A(0,-1,0),B1(3,0,2),则AB1=(3,1,2),则BO=(-3,0,0)为侧面ACC1A1的法→|AB1·BO||-3|6

向量,故sin θ===. →→22×34|AB1||BO|

2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,二面角B-AA1-C1的大小为60°,点B到平面ACC1A1的距离为3,点C到平面ABB1A1的距离为23,则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()

A.7 C.5

B.6 D.2

解析:选A.由题意可知,∠BAC=60°,点B到平面ACC1A1的距离为3,点C到平面ABB1A1

的距离为23,所以在三角形ABC中,AB=2,AC=4,BC=23,∠ABC=90°,则AB1·BC1=(BB1→→→

-BA)·(BB1+BC)=4,

|AB1|=22,|BC1|=4,

cos〈AB1,BC1〉=

AB1·BC1

→→

=|AB1|·|BC1|

故tan〈AB1,BC1〉=7.

2, 4

3.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为()

A.-C.

30 10

B.-D.

30 5

30 530 10

解析:选D.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC. 过点A作AE∥CB,又CB⊥AB,则AP,AB,AE两两垂直.

如图,以A为坐标原点,分别以AB,AE,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0). 因为D为PB的中点,所以D(2,0,1). →→

故CP=(-4,2,2),AD=(2,0,1).

→→

→→AD·CP-630

所以cos〈AD,CP〉===-.

→→105×26|AD|×|CP|设异面直线PC,AD所成的角为θ, →→30

则cos θ=|cos〈AD,CP〉|=.

10

4.(2017·山西四市联考)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

D(1,1,2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面

积,则( )

A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2≠S3 C.S3=S1且S3≠S2 D.S3=S2且S3≠S1

1

解析:选D.如图所示,△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影,所以S1=×2×2=2.

21

三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E,F分别为OA,BC的中点)全等,所以S2=×2×2

2=2.

1

三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G,H分别为AB,OC的中点)全等,所以S3=2×2×2=2.

所以S2=S3且S1≠S3,故选D.

5.如图,点E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E与C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN的条数有( )

A.0条 C.2条

B.1条 D.无数条

解析:选B.假设存在满足条件的直线MN,如图,建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为2,则D1(2,0,2),E(1,2,0),设M(x,y,z),D1M=mD1E(0<m<1),∴(x-2,y,z-2)=

m(-1,2,-2),x=2-m,y=2m,z=2-2m,∴M(2-m,2m,2-2m),同理,若设C1N=nC1F(0<n→

<1),可得N(2n,2n,2-n),MN=(m+2n-2,2n-2m,2m-n).又∵MN⊥平面ABCD.

→→

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