题组层级快练(七十八)
1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A．(a＋3)<2a＋6a＋11 1
C．|a－b|＋≥2
a－b答案 C
解析 (a＋3)－(2a＋6a＋11)＝－a－2<0， 故A恒成立；
在B项中不等式的两侧同时乘以a，得a＋1≥a＋a?(a－a)＋(1－a)≥0?a(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)(a＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立； 对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a <2a＋2＋a 恒成立，知D项中的不等式恒成立．故选C. 2 2 2 4 3 4 3 3 2 2 2 2 2 112 B．a＋2≥a＋ aa D.a＋3－a＋1 11 2．若a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( ) abA．x>y C．x≥y 答案 A 11 解析 x－y＝(a＋)－(b＋) abab－1 ＝(a－b)·， ab ∵a>b>1，∴a－b>0，ab－1>0， ab>0，∴x－y>0即x>y，故选A. 1 另解：考察f(x)＝x＋(x>1)． x1x－1 ∵f′(x)＝1－2＝2>0， xx∴f(x)为增函数． 又a>b>1， ∴f(a)>f(b)， 即x>y.故选A. 3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________． 答案 2 2 B．x 解析 (am＋bn)(bm＋an)＝abm＋(a＋b)mn＋abn＝ab(m＋n)＋2(a＋b)≥2abmn＋2(a 2 2 2 2 2 2 222222222 ＋b)＝4ab＋2(a＋b)＝2(a＋2ab＋b)＝2(a＋b)＝2(当且仅当m＝n＝2时等号成立)． 4．(2019·沧州七校联考)若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________． 332答案 2 1 解析 由logxy＝－2，得y＝2. x 3xx1313321xx1x13 而x＋y＝x＋2＝＋＋2≥3··2＝3＝，当且仅当＝2即x＝2时取等 x22x22x422x3 32 号．所以x＋y的最小值为. 2 5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为________． 答案 3 2 解析 方法一：(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3. 当且仅当a＝b＝c时取等号成立． 方法二：柯西不等式：(a＋b＋c)＝(1×a＋1×b＋1×c)≤(1＋1＋1)(a＋b＋c)＝3. 6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a＋4b＋9c的最小值为________． 答案 12 解析 由柯西不等式，得(1＋1＋1)(a＋4b＋9c)≥(a＋2b＋3c)，即a＋4b＋9c≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a＋4b＋9c的最小值为12. ax＋by2ax＋by 7．(2019·江苏南通联考)已知x>0，y>0，a∈R，b∈R.求证：()≤. x＋yx＋y答案 略 证明 因为x>0，y>0，所以x＋y>0. ax＋by2ax＋by 所以要证()≤， x＋yx＋y即证(ax＋by)≤(x＋y)(ax＋by)， ax＋by2ax＋by 即证xy(a－2ab＋b)≥0，即证(a－b)≥0，而(a－b)≥0显然成立．故()≤. x＋yx＋y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8．(2019·福建质量检查)若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2. (1)求abc的最大值； 1119 (2)证明：＋＋≥. abc28 答案 (1) (2)略 27 解析 (1)因为a，b，c∈R＋， 83 所以2＝a＋b＋c≥3abc，故abc≤. 272 当且仅当a＝b＝c＝时等号成立． 38 所以abc的最大值为. 27 1111 (2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b abc21111222 ＋c)·(＋＋)＝[(a)＋(b)＋(c)]×[( abc2 1 ＋b× a 1 ＋c× b 129)＝. c2 12 )＋( a 12 )＋( b 121 )]≥(a× c2 1119 所以＋＋≥. abc2 9．(2019·武汉调研)(1)求不等式|x－5|－|2x＋3|≥1的解集； 1 (2)若正实数a，b满足a＋b＝，求证：a＋b≤1. 21 答案 (1){x|－7≤x≤} (2)略 3 3 解析 (1)当x≤－时，－x＋5＋2x＋3≥1， 23 解得x≥－7，∴－7≤x≤－； 2 31当－ 2331∴－ 23 当x≥5时，x－5－(2x＋3)≥1，解得x≤－9，舍去． 1综上，－7≤x≤. 3 1 故原不等式的解集为{x|－7≤x≤}． 3 (2)要证a＋b≤1，只需证a＋b＋2ab≤1， 11 即证2ab≤，即证ab≤. 2411 而a＋b＝≥2ab，∴ab≤成立， 24∴原不等式成立． 10．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1)求m的值； 111 (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. a2b3c答案 (1)1 (2)略 解析 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m， 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1. 111 (2)证明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋， a2b3c由柯西不等式，得 111 a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋) a2b3c≥(a· 1 112 ＋2b·＋3c·)＝9. a2b3c 11．(2019·广州综合测试)已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|. (1)若f(1)<3，求实数a的取值范围； (2)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2. 24 答案 (1)(－，) (2)见解析 33 解析 (1)因为f(1)<3，所以|a|＋|1－2a|<3. 22 ①当a≤0时，得－a＋(1－2a)<3，解得a>－，所以－ 3311 ②当0 221414 ③当a≥时，得a－(1－2a)<3，解得a<，所以≤a<. 232324 综上所述，实数a的取值范围是(－，)． 33 (2)f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|， 因为a≥1，所以f(x)≥3a－1≥2. 12．(2019·四川南充检测)已知函数f(x)＝|x－2|.