【创新设计】(江苏专用)2016高考数学二轮专题复习总结-解答题强化练-第三周-40分附加
题部分-理(选做)
星期日 (40分附加题部分)
2016年____月____日
选做部分
请同学从下面给的四题中选定两题作答 1．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE＝AC，
DE交AB于点F.求证：△PDF∽△POC.
证明 因为AE＝AC，∠CDE＝∠AOC，又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP， 从而∠PFD＝∠OCP，在△PDF与△POC中，∠P＝∠P，∠PFD＝∠OCP， 故△PDF∽△POC.
2．选修4-2：矩阵与变换
?1
已知矩阵A＝?
?c
2?
?2?
d为实数)．若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为??，?(c，d??1?
?1?－1
??，求矩阵A的逆矩阵A. ?1?
解 由题意知?
?1 2??2?? 4??2?
? ??＝??＝2??， ?c d??1??2c＋d??1?
?1?
?1 ??c
2??1?
? ??＝??＝3??， d??1??c＋d??1?
? 3?
???2c＋d＝2，?c＝－1，?所以解得? ?c＋d＝3，?d＝4.??
?1 所以A＝?
?－1 2??， 4?
所以A－1
1 －??233??＝. 11? ??66?
3．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆A的圆心为(4，0)，半径为4，点M为圆A上异于极点O的动点，
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【创新设计】(江苏专用)2016高考数学二轮专题复习总结-解答题强化练-第三周-40分附加
题部分-理(选做)
求弦OM中点的轨迹的极坐标方程．
解 由题意知，圆A的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 设弦OM的中点为N(ρ，θ)，则M(2ρ，θ)，
因为点M在圆A上，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ， 又点M异于极点O，所以ρ≠0，
所以弦OM中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0)．
4．选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)＋(y＋2)＋(z－3)≥14. 证明 因为[(x－1)＋(y＋2)＋(z－3)](1＋2＋3)≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)] ＝(x＋2y＋3z－6)＝14， 当且仅当
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x－1y＋2z－3
1＝
2＝3
，
即x＝z＝0，y＝－4时，取等号， 所以(x－1)＋(y＋2)＋(z－3)≥14.
2
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必做部分
1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.
(1)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值； (2)求二面角BAB1C平面角的余弦值．
→→→
解 如图，以{CA，CB，CC1}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，
→→→→
所以CB1＝(0，1，2)，AB＝(－1，1，0)，AB1＝(－1，1，2)，BA1＝(1，－1，2)． →→
(1)因为cos〈CB1，BA1〉＝
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题部分-理(选做)
330＝＝，
→→105×6|CB1||BA1|
所以异面直线BA1与CB1夹角的余弦值为
30
. 10
CB1·BA1
→→
(2)设平面CAB1的法向量为m＝(x，y，z)，
→??－x＋y＋2z＝0，?m·AB1＝0，?
则?即?取平面CAB1的一个法向量为m＝(0，2，－1)；
?→y＋2z＝0，??m·CB1＝0，?设平面BAB1的法向量为n＝(r，s，t)， →??n·AB1＝0，??－r＋s＋2t＝0，
则?即?
?→－r＋s＝0，???n·AB＝0，取平面BAB1的一个法向量为n＝(1，1，0)，
m·n210
则cos〈m，n〉＝＝＝，
|m||n|55×2
所以二面角BAB1C平面角的余弦值为10
. 5
*
2．在数列{an}中，已知a1＝20，a2＝30，an＋1＝3an－an－1(n∈N，n≥2)．
(1)当n＝2，3时，分别求an－an－1an＋1的值，并判断an－an－1an＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；
2
2
(2)求出所有的正整数n，使得5an＋1an＋1为完全平方数．
解 (1)由已知得a3＝70，a4＝180.所以当n＝2时，an－an－1an＋1＝－500；当n＝3时，
2
a2n－an－1an＋1＝－500.
猜想：an－an－1an＋1＝－500(n≥2)． 下面用数学归纳法证明： ① 当n＝2时，结论成立．
② ②假设当n＝k(k≥2，k∈N)时，结论成立，
即ak－ak－1ak＋1＝－500.
将ak＋1＝3ak－ak－1代入上式，可得ak－3akak＋1＋ak＋1＝－500.则当n＝k＋1时，
222a2k＋1－akak＋2＝ak＋1－ak(3ak＋1－ak)＝ak＋1－3akak＋1＋ak＝－500.
2
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2
*
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故当n＝k＋1结论成立，根据①②可得an－an－1an＋1＝－500(n≥2)成立． (2)将an－1＝3an－an＋1代入an－an－1an＋1＝－500，
得an＋1－3anan＋1＋an＝－500，则5an＋1an＝(an＋1＋an)＋500，5anan＋1＋1＝(an＋1＋an)＋501，
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设5an＋1an＋1＝t(t∈N)，则t－(an＋1＋an)＝501，
2*22
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