唯一性:假设存在两对整数q1、r1及q2、r2都使得a?bq?r,0?r?b 成立. 即有a?bq1?r1?bq2?r2(0?r1,r1,r2?b),则b(q1?q2)?r2?r2?r1?b.
?br1?r2 r1?r2?0?r1?r2?q1? q26、设A?{x1,x2……xm}是模m的一个完全剩余系,以{x}表示x的小数部分,证明:若
(a,m)?1,则?{i?1maxi?b1}?(m?1) m2证明:当x通过模m的完全剩余系时,ax?bR通过模m的完全剩余系.
因此,对任意的i(1?i?m),axi?b一定与且只与某个整数j(1?j?m)同余即存在整数k使得:axi?b?km?j(1?j?m)
mmm?1axi?bjjj1m(m?1)1从而,?{}??{k?}??{}?????(m?1)
mmmmm22i?1j?1j?1j?1f(m)m7、设m?1,(a,m)?1,x1,x2,…,xf(m)是模m的简化剩余系,证明:其中{x}表示x的小数部分。
?{m}?2f(m).
i?1axi1证明:由题可设:axi?mqi?ri(0?ri?m)由xi通过模m的简化剩余系知ri通过模m的最
小
f(m)非负简
f(m)化剩余
f(m)系,
f(m)i?1于是由定理可知:
axi{}??mi?1ri{q?}??imi?1ri1{}??mi?1m?{ri}?11mf(m)?f(m) 2m2ba8、设a、b是正整数,b?2则2?12?1
ba证明:(1)若a?b且2?12?1成立,则2b?1?2a?1?2b?2a?2?2a(2b?a?1)?2
于是a?1,b?a?1即b?2与b?2矛盾,故命题结论成立.
baaaaaa(2)若a?b且2?12?1,则2?1(2?1)?2?2?12?2?1?2?2?3
于是b?a?1,与b?2矛盾,故命题结论成立. (3)若a?b,记a?kb?r(0?r?b)此时
2kb?1?(2k?1)(2(k?1)b?2(k?2)b?……?1)?(2b?1)Q(Q?z).
故
2a?1?2kb?r?1?2r(2kb?1?1)?2r[(2b?1)Q?1]?1?(2b?1)Q??(2r?1)(Q??z)
babr由2?12?1?2?12?1,在(1)中已经证明这是不可能的,故命题结论成
立.
9、证明:存在无穷多个正整数a,使得n?a(n?1,2……)都是合数(即分成两项乘积即可)。 证
明
:
取
4a?4k4,
对任意的
n?N,
有
n4?4k4?(n?2k2)2?4n2k2?(n2?2k2?2nk)?(n2?2k2?2nk)
n2?2k2?2nk?(n?k)2?k2?k2??k?2.3.......?n?N??N?a都是合数。
2210、证明:a、b、c?N,c无平方因子且abc ,证明:ab.
4证明:设(a,b)?d,则有a?da1与b?db1,(a1,b1)?1.
22222由abc得a1b1c,a1c
因为c无平方因子,所以a1?1,a?d,b?ab1.即ab.. 11、对任意的正整数a、b、c.证明下面的结论成立。
(1)由bac且(a,b)?1,可得出b|c.(2)由bc与ac, 且(a,b)?1.可推出abc. 证明:(1)
(a,b)?1.?存在整数x与y使得ax?by?1. ?acx?bcy?c.
bac?bacx?bcy.即bc
(2). 由(a,b)?1,存在整数
x与yy1.又由bc与ac,得使得ax?b?abac,abbc.
因此,abqx?abpy?c?abc
12、设m是整数且4m,{a1