初等数论试卷

9.解同余式3x ? 8 (mod 10)。

解:因为(3,10)=1,1|8,所以同余式有解,并且只有一个解。由3x?10y?8得一个解?所以同余式的解为x?6(mod10)。 10.解同余式组:

?x0?6

,y?1?0

?x?1(mod2)??x?1(mod3)。 ?x?1(mod5)?解:因为2,3,5两两互质,所以由孙子定理该同余式组有一个解。由孙子定理可得该同余式组的解为x ? 1(mod 30)。 11.解同余式28x ? 21 (mod 35)。

解 因为(28,35) = 7,而7|21,所以同余式28x ? 21(mod 35)有解,且有7个解。同余式28x ? 21(mod 35)等价于4x ? 3(mod 5),解4x ? 3(mod 5)得x ? 2(mod 5),故同余式28x ? 21(mod 35)的7个解为x ? 2,7,12,17,22,27,32(mod 35)。 12.解同余式组:

?x?1(mod3)。 ??x?2(mod7)解:由x?1(mod3)得x?1?3t1,t1?Z,将其代入x?2(mod7)得

1?3t1?2(mod7),即3t1?1(mod7),解得t1?5(mod7),所以

t1?5?7t2,t2?Z,于是x?1?3t1?1?3(5?7t2)?16?21t2,t2?Z。所以同余式组的解

为x?16(mod21)。

初等数论第四次作业参考答案

证明题

1.证明:若a?b(modm),c?d(modm),则a?c?b?d(modm)。

m),c?d(modm)得m|(a?b),m|(c?d),由整除的性质得证明:由a?b(modm|[(a?b)?(c?d)],即m|[(a?c)?(b?d)],所以a?c?b?d(modm)。

2.证明:设m, n为整数,求证m+n, m-n与mn中一定有一个是3的倍数。 证明:若m或n为3的倍数,则mn是3的倍数;

若m是3的倍数加1,n是3的倍数加1,则m-n是3的倍数;

若m是3的倍数加1,n是3的倍数加2,则m+n是3的倍数; 若m是3的倍数加2,n是3的倍数加1,则m+n是3的倍数;

若m是3的倍数加2,n是3的倍数加2,则m-n是3的倍数,结论成立。 3.证明:若a|c,b|d,则ab|cd。

证明:由a|c,b|d知存在整数p,q使得c?ap,d?bq,所以cd?apbq?abpq, 因为pq为整数,所以由整除的定义知ab|cd。 4.证明:若n为自然数,求证9n+1?8n+9(mod 64)。

证明:因为9?1(mod 8),所以9k?1(mod 8),k=2,3,…,n-1,于是 9n-1+…+92+9+1?n(mod 8),所以9(9n-1+…+92+9+1)? n(mod 8),

从而9?(9-1)?(9n-1+…+92+9+1)? 8n(mod 64),即9(9n-1) ? 8n(mod 64),所以 9n+1?8n+9(mod 64)。

5.若p为奇质数,证明2p | (22p-1–2)。

证明:因为p为质数,所以?(p)=p-1,又p为奇质数,所以(2,p)=1,于是由欧拉定理得2p-1?1(mod p),两边平方得22p-2?1(mod p),再由同余的性质有2?22p-2?2(mod 2p),即:22p-1?2(mod 2p)。所以2p|(22p-1-2)。

6.证明:整数a,b对模m同余的充分与必要条件是m|(a?b)。

证明:设a?mq1?r,则r1?r2,因1,b?mq2?r2,0?r1,r2?m。若a≡b(mod m)此a?b?m(q1?q2),即m|a-b。 反之,若m|a-b,则m|mq(1q?2)?(r1r?2)即a≡b(mod m)。

7.设a是大于1的整数,证明a4?4是合数。 证明:a?4?(a)?4a?4?4a

42222,因此m|r1?r2,但故rr1?r2?m,1?r2,

?(a2?2)2?4a2?(a?2?2a)(a?2?2a)22

22由于a?1且是整数,所以a?2?2a?1,a?2?2a?1,且均为整数,故当a是大于1

的整数时,a?4是合数。

4

8.设m为整数,证明:2|(m2?m?2)。

证明:因为m2?m?m(m?1)是两个连续整数的积,所以2|(m2?m)。 又2|2,所以由整除的性质知2|(m2?m?2)。

9.设p是质数,a与b是任二整数。证明:(a?b)p?ap?bp(modp)。 证明:因为p是质数,a与b是整数,所以ap?a(modp),bp?b(modp), 于是ap?bp?a?b(modp)。又(a?b)p?a?b(modp),所以

(a?b)p?ap?bp(modp)。

10.证明:若a|m,b|m,并且(a,b)?1,则ab|m。

证明:由(a,b)?1得as?bt?1,所以asm?btm?m,于是ab|m。

初等数论练习题答案

信阳职业技术学院

2010年12月

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数,若an-1是质数,则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t,y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数,则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程:3x?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解:因105 = 3?5?7,

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3), 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0,3 (mod 5), 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2,6 (mod 7), 故原同余方程有4解。

作同余方程组:x ? b1 (mod 3),x ? b2 (mod 5),x ? b3 (mod 7),

其中b1 = 1,b2 = 0,3,b3 = 2,6,

由孙子定理得原同余方程的解为x ? 13,55,58,100 (mod 105)。 2、判断同余方程x2≡42(mod 107)是否有解?

237)()()1071071071071073?1107?17?1107?1??2310727107222?()??1,()?(?1)()??()?1,()?(?1)22()??()??1107107331077742?()?11072?3?7解:(42)?()?(2

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4