初等数论试卷

说明:要证p55n?1?1,只需证明55n?1?1(modp),即证:

5p5n?1?510n?1?12?5p?12?1(modp) 这样就转化为证明:

(5)?1。

证明:因为(5)?(p)?(10n?1)?(?1)?1(modp)。

p555 所以55n?1?510n?1?12?5p?12?1(modp)。 故:p55n?1?1。

4、设p=4n+3是质数,证明当q=2p+1也是质数时,梅森数Mp=2p-1不是质数。 由此证明:23|(2-1),47|(2-1),503|(2

11

23

251

-1)。

q证明:由条件:q=2p+1=8n+7?-1(mod 8),从而:(p)=1,

即1?2不是质数。

当n=2,n= 5,n=62时立得:23|(2-1),47|(2-1),503|(2

11

23

251

q?12p

?24n+3?2p (mod q),于是q|(2p-1)。故:梅森数Mp=2-1

-1)。

注:此题还可以进一步表述为:设p=4n+3是质数,证明:2p+1是质数的充

要条件是2p≡1(mod 2p+1)。必要性已证。下证充分性:若2p≡1(mod 2p+1),则

p∣?(2p+1),因此必有?(2p+1)= p 或2p 。由于?(2p+1)为偶数,故?(2p+1)=2p 。

5、证明:设p是大于5的质数,则

(p?1)!?p?1?Z。

p(p?1)说明:只需证明:p(p+1) | (p-1)!+p+1。又因为(p,p+1)=1,所以需证: p | (p-1)!+p+1 与(p+1) | (p-1)!+p+1同时成立即可。 证明:由Wilson定理:?p?1?!?1?0?modp?知:p | (p-1)!+p+1;

又p是大于5的质数,可设p+1=2n,其中2<n<p-1,于是 (p+1) | (p-1)!+p+1。 故:p(p+1) | (p-1)!+p+1。即

(p?1)!?p?1?Z。

p(p?1)

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