22．3 实际问题与二次函数
第1课时 面积问题
教学目标
1．能根据实际问题列出函数关系式．
2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围．
3．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生应用数学的意识．
教学重难点
重点：用函数知识解决面积最大问题． 难点：建立二次函数模型． 教学过程 一、教师导学
给你长8 cm的铝合金条，问： ①你能用它制成一矩形窗框吗？ ②怎样设计，窗框的透光面积最大？ ③如何验证？
这就是我们下面要讨论的问题． 二、合作探究
我们先看下面一道例题．
【例】用6 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
分析：先思考解决以下问题：
(1)若设做成的窗框的宽为x m，则长为多少m？
（6－3x）
m 2
(2)根据实际情况，x有没有限制？若有限制，请指出它的取值范围，并说明理由．让学生讨论、交
x>0??6－3x
流，达成共识：根据实际情况，应有x>0，且>0，即解不等式组?6－2x，解这个不等式组，得
2
??2>0到不等式组的解集为0 (3)你能说出面积y与x的函数关系式吗？ 6－3x3y＝x·，即y＝－x2＋3x 22 (4)求当x取何值时，窗框的透光面积最大？最大面积为多少？ 333y＝－(x－1)2＝即当x＝1时，y最大值＝ 222 从在上面的例题中我们可以看出，要求最大透光面积，首先要求出面积与边之间的函数关系式，根 据实际情况得出自变量的取值范围，利用二次函数的性质在取值范围内得出最大值． 三、巩固练习 星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围． (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值． (3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试 结合函数图象，直接写出x的取值范围． 解：(1)y＝30－2x(6≤x<15)． (2)设矩形苗圃园的面积为S， 则S＝xy＝x(30－2x)＝－2x2＋30x， ∴S＝－2(x－7.5)2＋112.5. 由(1)知6≤x<15， ∴当x＝7.5时，S最大值＝112.5， 即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5平方米． (3)6≤x≤11. 四、总结提升 本节课应掌握： 分析问题中的数量关系，建立二次函数模型，注意实际问题中自变量的取值范围以及二次函数性质的实际应用． 五、布置作业 教材P52 习题22.3 4、5、6、7. 第2课时 销售利润问题 教学目标 1．能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力和应用数学的意识． 2．经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 3．通过学习和合作交流，了解数学带给人们的价值及美感． 教学重难点 重点：用函数知识解决销售利润问题 难点：建立二次函数模型 教学过程 一、教师导入 商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润是否随涨价而增大，随降价而减小？要想使商家获得最大利润，该如何定价？这些就是我们本节课要解决的问题． 二、合作探究 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 分析：可设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，可先根据题意列出y与x之间的函数关系式，此时应特别注意x的取值范围，然后再在自变量的取值范围内利用二次函数的性质求出最大值． 解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元． 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋100x) 即y＝－100x2＋100x＋200 1 配方得y＝－100(x－)2＋225 21 因为x＝时，满足0≤x≤2. 2 1 所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225. 2 所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大． 从上面的例题中，我们可以看出，解有关销售利润的问题首先还是要根据题意列出二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解． 三、巩固练习 某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息： 信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系y＝ax2＋bx. 当x＝1时，y＝1.4；当x＝3时，y＝3.6. 信息2：销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y＝0.3x. 根据以上信息，解答下列问题： (1)求二次函数解析式； (2)该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？ ???a＋b＝1.4，?a＝－0.1， 解：(1)由题意，得?解得?∴二次函数的解析式为：y＝－0.1x2＋1.5x. ?9a＋3b＝3.6.?b＝1.5.?? (2)设A种产品购进x吨，则B种产品购进(10－ x)吨，销售这两种产品所获得的利润之和为W万元．则W＝(－0.1x2＋1.5x)＋0.3(10－x)＝－0.1x2＋1.2x＋3＝－0.1(x－6)2＋6.6. ∴x＝6时，W有最大值6.6.∴10－6＝4(吨)． 答：A，B两种产品的进货量分别为6吨和4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是6.6万元． 四、总结提升 本节课应掌握： 根据题意列出二次函数关系式，注意自变量的取值范围以及二次函数性质的实际应用． 五、布置作业 教材P51 习题22.3 2、8