第四章 曲线运动
微专题16 小船过河问题
【核心要点提示】 小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． (2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)． (3)三种情景
d
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
v1
②过河路径最短(v2 ③过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，v1dv2则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d. v2cos αv1 【微专题训练】 (2014·四川·4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( ) A. kvvkvv B. C. D. k2－11－k21－k2k2－1 d 【解析】设大河宽度为d，小船在静水中的速度为v0，则去程渡河所用时间t1＝，回程渡 v0河所用时间t2＝C、D错误． 【答案】B 一艘船在一条河流中渡河，当河水不流动时，船垂直渡河用时t1.当发生山洪后，在流动的河水中，船在同一位置垂直河岸渡河用时为(设船相对于静水的速度一定，水速是船相对于 dt1v .由题知＝k，联立以上各式得v＝0222，选项B正确，选项A、t2v －v1－k0 静水的速度大小的一半)( ) 23 A.2t1 B．2t1 C.3t1 D.t 31 L 【解析】设河宽为L，船相对于静水的速度为v，则河水不流动时，船垂直渡河时间：t1＝. vv 当河水速度为时，要垂直河岸渡河，则有：v′＝ 2LL2L23t2＝＝＝·＝t，选项D正确． v′3133v v2【答案】D 一小船渡河，已知河水的流速与距河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则( ) v2－ v2 2 ＝ 3 v，船垂直渡河时间：2 A．船渡河的最短时间75 s B．要使船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线 C．要使船以最短路程渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 D．要使船以最短时间渡河，船在河水中的速度是5 m/s d300 【解析】当船的速度与河岸垂直时，渡河时间最短，t＝＝ s＝75 s，故A正确；船在 v船4沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线运动，故B错误；要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直，故C错误；要使船以最短时间渡河，船在航行中与河岸垂直，根据速度的合成可知，船在河水中的最大速度是5 m/s，故D错误． 【答案】A (2016·辽宁辽阳市高三质检)小河宽为d，河水中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离4v0成正比，v水＝kx，k＝，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度 d为v0，则下列说法中正确的是( ) A．小船渡河时的轨迹为直线 B．小船渡河时的轨迹为曲线 d C．小船到达距河对岸处，船的渡河速度为2v0 4 3d D．小船到达距河对岸处，船的渡河速度为10v0 4 【解析】小船在沿河岸方向上做变速直线运动，在垂直于河岸方向上做匀速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，故B正确，A错误；小船到达距河dd3d2对岸处，水流速为v水＝k＝v0，则v＝v2＋v＝2v。故C正确；小船到达距河对岸处，000 4443d4v02d－?＝v0，则船的速度v＝v2水流速为v水＝?＋v00＝2v0，故D错误。 4?d?【答案】BC (多选)如图7甲、乙所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，且向他左侧的固定目标拉弓放箭．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭的速度为v2，跑道离固定目标的最近距离OC＝d.若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( ) v1A．运动员放箭处离目标的距离为d v2 v1 2＋v2 2B．运动员放箭处离目标的距离为d v2d C．箭射到固定目标的最短时间为 v2D．箭射到固定目标的最短时间为d22 v2 －v1 【解析】联系“小船渡河模型”可知，射出的箭同时参与了v1、v2两个运动，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，箭射出的方向应与马运动的方向垂直，故箭射到固定目标的d22最短时间为t＝，箭的速度v＝v 1＋v 2，所以运动员放箭处离固定目标的距离为x＝vt＝v2 22v 1＋v 2 d，B、C正确． v2 【答案】