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分析法在刚体动力学问题中的应用
作者：郑文珍
来源：《大学教育》2015年第09期
[摘 要]刚体动力学问题的求解是大学物理教学中的重点及难点。以原始公式为基础，采用由整体到局部的分析法，按照一定的逻辑思维顺序链式分析、推演，环环相扣，直到待求物理量全部用已知量表示为止，较好地解决教学难点，并以两个典型问题进行了示例。 [关键词]分析法 刚体动力学 应用 示例
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2015）09-0121-02
刚体动力学的求解问题，一直是大学物理教学中的重点[1]，也始终是大学生最感困惑的难点。如何解决好这一问题，保证对重点内容的理解与掌握，突破大学理工科低年级学生普遍存在的会听不会做的困扰？笔者在近几年的大学物理教学中积累了一些经验，即针对大学理工科低年级学生这一教学对象，以分析法为主，紧紧抓住牛顿运动定律这条主线，突出转动定律在刚体动力学问题中的核心地位，精选内容，通过典型实例剖析学生在求解这类问题时出现的错误，正反对比，举一反三，收到了好的效果。
所谓分析法，就是从整体到局部的逻辑思维方法，是把一个大的物理问题化整为零，各个击破，逐步引向待求物理量的思考方法。具体地说，就是在认真审题、分析题意的基础上，首先找出能直接回答待求物理量的物理规律及其公式，我们称之为原始公式。原始公式一般都是重要而基本的物理公式。正确地找出了原始公式，就有了正确的大前提。观察原始公式中包含哪些未知量，确定小前提，再列出表达这些未知量的物理方程。如果这些方程中仍然含有新的物理量，就再列出相应的表达式，这样按照一定的逻辑思维顺序链式分析、推演，环环相扣，直到待求物理量全部用已知量表达为止。对原始公式逐步分析、推演的过程，就是逻辑思维过程，是一个对物理内容再加工的过程，也就是逐步引向待求物理量的解决过程，经过这样的分析处理，复杂的动力学问题往往都能得到正确的解答。下面举两个实例具体说明。
例1 如图1，有一质量均匀分布的刚性圆柱体，用一水平外力F作用于圆柱体的上半部，使它在水平面上作无滑滚动[2]。F距圆心距离为a，问此时圆柱体所受静摩擦力方向如何？ 讲评：初看此题，似乎极易回答。因而不少学生未做正确的分析与推理，便想当然地得出结论。常见答案有以下三种：第一种，因外力F水平向右，使整个圆柱体有向右运动的趋势，故圆柱体与地面的接触点A所受的静摩擦力水平向左；第二种，因外力F不通过圆柱体质心，故F对质心的力矩不为零，这个力矩使圆柱体沿顺时针方向转动，故接触点A相对于地面有向左运动的趋势，因而静摩擦力水平向右；第三种，因圆柱体作纯滚动，A点相对于地面的速度为零，无滑动趋势，故静摩擦力为零。
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分析：以上三种解答都具有片面性，缺乏整体考虑。实际上水平外力F的作用效果有两个：一是使圆柱体有向右平动的趋势，二是使圆柱体有以过A点的直线为瞬轴沿顺时针方向转动的趋势。两种趋势并存，关键是要看哪种趋势占优势，才能确定摩擦力的取向。 再分析：外力F作用于圆柱体不同位置，产生不同的力矩，因而产生的角加速度不同。可能是平动趋势大于转动趋势，也可能是转动趋势大于平动趋势，亦或二者相抵消。这只能通过定量计算才能判别。为此需列出圆柱体的动力学方程求解。由题可确定刚体对质心轴的转动定律为原始公式。
解答过程：由于静摩擦力f的方向不能马上确定，但由其性质可知在此问题下只能是向左、向右或为零[3]。故先假定f水平向右，若解得f为正，则表明f的方向与所设方向一致；若为负，则与之相反。设向右为x轴正向，圆柱体半径为R、质量为m，则由质心运动定理及刚体对质心轴的转动定律可列出以下两式：静摩擦力的方向水平向左。
例2 如图2示，一半径为R、质量为m的均质圆盘置于粗糙的水平桌面上。现令其以初始角速度ω0自转，设圆盘与桌面间的摩擦系数为μ，求经过多长时间圆盘才停止旋转。 讲评：作为一个典型的传统问题[4]，本题常见的解答错误有两点：一是对力矩的求法，不少学生认为摩擦力为μmg，因而桌面对圆盘的力矩为M=rf=μmgr；二是因圆盘未固定于某一定轴，无法正确确定转动轴的位置。
分析：从整体来看，这是力矩对时间的累积，应该用转动定律求解。刚体对定轴的转动定律公式为原始公式。
再分析：刚体在粗糙水平面上旋转，圆盘质量均匀分布，因初始角速度ω0不为零，故圆盘在水平桌面上绕过质心且垂直于盘面的轴作虽无轴而有轴的转动，仍然是“定轴”转动，且各个质元对轴的摩擦力矩因其位置不同而不同。
解答过程：刚体绕定轴转动的转动定律M=Jα=J，故原始公式为Mdt=Jdω。式中J=mR2为圆盘绕通过质心且垂直于盘面的轴转动时的转动惯量。
现在来计算圆盘所受的摩擦力矩M。设圆盘密度为ρ，对任一小质元，其质量dm可表示为dm=ρrdrdθ，每个小质元所受到的摩擦力矩dM=rμgdm，因而圆盘所受的总摩擦力矩为此即为所求。 [ 参 考 文 献 ]
[1] 教育部高等学校物理学与天文学教学指导委员会.大学物理课程教学基本要求[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2] 马文蔚.物理学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006，15.
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[3] 漆安慎，杜婵英.力学（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005，241.
[4] 程守诛，江之永主编，胡盘新等改编.普通物理学（第五版）（第一册）[M].北京：高等教育出版社，1997，191. [责任编辑：张 雷]