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一、选择题
1．下列各点在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲线上的是( ) A．(0,0) B．(1,1) C．(1，－1) D．(1，－2)
解析： 验证法，点(0,0)显然不满足方程x2－xy＋2y＋1＝0， 当x＝1时，方程变为1－y＋2y＋1＝0，解得y＝－2， ∴(1，－2)点在曲线上．故选D. 答案： D
→→
2．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是( )
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
解析： 设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
→→
又AC＝2CB，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
a＝3x，??即?3 ②
b＝y，??2
22y代入①式整理可得x＋＝1. 4
答案： C
3．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是( )
A．直线l B．与l垂直的一条直线 C．与l平行的一条直线 D．与l平行的两条直线
解析： 方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线． 答案： C
4．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
x2y2
解析： 如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：2＋2＝1(其中a>b>0)．连
ab
结MO，由三角形的中位线可得：
|F1M|＋|MO|＝a(a>|F1O|)，
则M轨迹为以F1、O为焦点的椭圆． 答案： B
5．下列说法正确的是( )
A．在△ABC中，已知A(1,1)，B(4,1)，C(2,3)，则AB边上的高的方程是x＝2 B．方程y＝x2(x≥0)的曲线是抛物线
1
C．已知平面上两定点A、B，动点P满足|PA|－|PB|＝|AB|，则P点的轨迹是双曲线
2
D．第一、三象限角平分线的方程是y＝x
解析： 选项A符合曲线与方程概念(1)曲线上所有点的坐标均是这个方程的解，不符合(2)以这个方程的解为坐标的点均是曲线上的点．选项B符合(2)但不符合(1)．选项C符合(2)但不符合(1)．选项D符合(1)、(2)．故选D.
答案： D
6．已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相
切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
222y2yA．x－＝1(x>1) B．x－＝1(x<－1) 882
y22y2
C．x＋＝1(x>0) D．x－＝1(x>1)
810
解析： 设另两个切点为E、F，如图所示，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|， |NF|＝|NB|.
从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF| ＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，
∴P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．
2
22y又∵a＝1，c＝3，∴b＝8.故方程为x－＝1(x>1)．
8
答案： A 二、填空题
y→→0，?，C(x，y)，若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程7．平面上有三点A(－2，y)，B??2?为________．
→2，－y?→?x，y?
解析： AB＝?，BC＝?2?. 2??
∵AB⊥BC，
yy→→∴AB·BC＝0，得2·x－·＝0.
22
2
得y＝8x.
答案： y2＝8x
8．已知△ABC的周长为6，A(－1,0)，B(1,0)，则顶点C的轨迹方程为________． 解析： ∵A(－1,0)，B(1,0)， ∴|AB|＝2，
又∵△ABC的周长为6， ∴|CA|＋|CB|＝4>2，
∴C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(去掉左、右顶点)． ∵2a＝4，c＝1， ∴b＝a2－c2＝3.
x2y2
∴轨迹方程为＋＝1(x≠±2)．
43x2y2
答案： ＋＝1(x≠±2)
43
9．已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是________．
2
解析： 设P(x1，y1)，M(x，y)，则y1＝x1 ① 2
?x＝x＋2
又M为AP中点，∴?y
y＝?2
11
→→
??x1＝2x－2
，∴?
?y1＝2y?
1
代入①得(2y)2＝2x－2，即y2＝(x－1)．
2
1
答案： y2＝(x－1)
2
三、解答题
10．由抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R，求点R的轨迹方程．
11
－，y1?，F?，0?， 解析： 设P(x1，y1)，R(x，y)，则Q??2??2?y1∴直线OP的方程为y＝x，①
x1
1
x－?，② 直线FQ的方程为y＝－y1??2?
2x2y
由①②得x1＝，y1＝，
1－2x1－2x
将其代入y2＝2x，可得y2＝－2x2＋x. 即点R的轨迹方程为y2＝－2x2＋x.
11．已知曲线E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，经过点M?
3?
的直线l与曲线E交于点A、
?3，0?
→→
B，且MB＝－2MA.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程.【解析方法代码108001118】
3解析： 设A(x0，y0)，∵B(0,2)，M?，0?，
?3?
33→→故MB＝?－，2?，MA＝?x0－，y0?.
3?3???33→→
由于MB＝－2MA，∴?－，2?＝－2?x0－，y0?.
3?3???
33
∴x0＝，y0＝－1，即A?，－1?.
2?2?
a·0＋b·2＝1，??
∵A，B都在曲线E上，∴??3?2 2
a·＋b·?－1?＝1.???2?a＝1，??
解得?1
??b＝4.
y2
∴曲线E的方程为x＋＝1.
4
12．定长为3的段线AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且→→AM＝2MB.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设过F(0，3)且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于G、H两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DG，DH为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．
【解析方法代码108001119】
解析： (1)设A(x1,0)，B(0，y1)，M(x，y)，
x1x＝，x＝3x，?1＋2?1则∴? 3
2y1y＝y.1?2?y＝，1＋2
2
2
2
???
2
2
|AB|＝3＝
3?2y
y，即＋x2＝1. ?3x?＋??2?4
(2)存在满足条件的点D.
设满足条件的点D(0，m)，则0≤m≤3.
设l的方程为y＝kx＋3(k≠0)，代入轨迹方程，得 (k2＋4)x2＋23kx－1＝0.
23k
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，
k＋4
83
. k2＋4
∵以DG、DH为邻边的平行四边形为菱形， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋23＝∴(DG＋DH)⊥GH.
→→→→→?23k83? ∵DG＋DH＝(x1，y1－m)＋(x2，y2－m)＝(x1＋x2，y1＋y2－2m)＝?－2，2－2m?，
?k＋4k＋4?
设GH的方向向量为(1，k)，
∵(DG＋DH)·GH＝0，
23k83k33∴－2＋2－2mk＝0，即m＝2.
k＋4k＋4k＋4
3333∵k2>0，∴m＝2<<3，∴0 k＋44∴存在满足条件的点D. →→→→高?考∽试α题≦库