第41讲 课本题改编型问题
课本中例题、习题是针对教材内容而设置，具有示范性、典型性和代表性，例题、习题是学业考试试题和模拟试题编制的题源，这种“源于课本，又内容 高于课本”的考题，既立足教材，又迁移了教材中解决问题的基本思想和特性 方法，对教材中问题的适当拓展或延伸，改变题目的原有呈现形式，实现问题的推陈出新. 解题 策略 通过课本中例题、习题的基本解题思路和改编后问题的结构去进一步探索，结合纵向、横向思考，特殊到一般等数学方法.
基本思想 类比思想、特殊到一般、运动变换思想体现较多.
类型一 以题改题－情景不变，内容改变
例1 课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标
注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)
(2)△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
(3)如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第63页探究活动．问题通过课本题再赋予新的定义，进行了类比探究，丰富问题内含．考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道体现能力的题目．
(浙教版教材八上，第86页第16题)
1．已知△ABC中，AB＝AC，点E、F分别是直线BC，AC上的点，直线AE、BF相交于点P，且CF＝k·BE，∠BAC＝α.
(1)若点E、F分别是边BC，CA上的点． ①如图1，k＝1，α＝60°，求∠APF的度数； ②如图2，k＝3，α＝120°，求∠APF的度数；
(2)如图3，若点E在边BC上，点F在CA的延长线上，k＝3，α＝120°，求∠APF的度数．
类型二 以题生题－借助习题，拓展问题
例2 (2015·温州)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942)证明了格点多1
边形的面积公式：S＝a＋2b－1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上1
的格点数，S表示多边形的面积．如图，a＝4，b＝6，S＝4＋2×6－1＝6.
(1)请在图1中画一个格点正方形，使它内部只含有4个格点，并写出它的面积； 7
(2)请在图2中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其他格．．．．2点． ．
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八下第103页课题学习．本题是应用与设计作图，关键是理解皮克公式，根据题意求出a、b的值．
(浙教版教材八下，第132页第11题)
2．(2017·湖州)已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
(1)如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG；
(2)如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G.若OE＝OG，
①求证：∠ODG＝∠OCE； ②当AB＝1时，求HC的长．