2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题第二章函数与基本初等函数(单元测试)

??loga|-5|<1,

结合图象可知?故a>5;

?loga|5|<1,?

当0<a<1时,作出函数f(x)与函数y=loga|x|的图象,如图所示.

??loga|-5|≥-1,1

结合图象可知?故0<a≤.故选A.

5?loga|5|≥-1,?

12. (2019·四川雅安中学模拟)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合a

指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有4 L,则m的值为( )

A.5 【答案】A

【解析】∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等, 1

∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=2a, t

11?1?5

可得n=5ln2,∴f(t)=a·2,

??

a

因此,当k min后甲桶中的水只有4 L时, kk1?511?51??f(k)=a·2=4a,即2=4, ????∴k=10,由题可知m=k-5=5. 二、填空题(本大题共4小题,共16分)

B.8

C.9

D.10

13.(2019·海南加积中学模拟)函数y=x+-x2+10x-23的最小值为________. 【答案】5-2

【解析】原函数可化为:y=x+2-由2-(x-5)2≥0?|x-5|≤2, 令x-5=2cos α,

那么|2cos α|≤2?|cos α|≤1?0≤α≤π, π

α+?+5. 于是y=2cos α+5+2sin α=2sin??4?πππ5π?2,,所以sin?α+?∈?-,1?, 因为α+∈??4??24?44??所以函数的最小值为5-2.

14.(2019·广东广雅中学模拟)对于函数f(x),如果存在x0≠0,使得f(x0)=-f(-x0),则称(x0,f(x0))与(-x0,f(-x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=ex-a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点,则实数a的取值范围是________.

【答案】(1,+∞)

1x1?-

e+x>【解析】依题意,知f(x)=-f(-x)有非零解,由f(x)=-f(-x)得,ex-a=-(ex-a),即a=?e?2?1(x≠0),所以当f(x)=ex-a存在奇对称点时,实数a的取值范围是(1,+∞).

15.(2019·江西南昌十中模拟)定义:如果在函数y=f(x)定义域内的给定区间[a,b]上存在x0(a<x0

f(b)-f(a)

<b),满足f(x0)=,则称函数y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,如y

b-a=x4是[-1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x2+mx+1是[-1,1]上的平均值函数,则实数m的取值范围是________.

【答案】(0,2)

【解析】因为函数f(x)=-x2+mx+1是[-1,1]上的平均值函数, f(1)-f(-1)

设x0为均值点,所以=m=f(x0),

1-(-1)

即关于x0的方程-x20+mx0+1=m在(-1,1)内有实数根,解方程得x0=1或x0=m-1. 所以必有-1<m-1<1,即0<m<2, 所以实数m的取值范围是(0,2).

x+116. (2019·河北辛集中学模拟)函数f(x)=x的图象与直线y=kx+1交于不同的两点(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=________.

x-5

2

.

【答案】2

x+11

【解析】因为f(x)=x=x+1,所以f(x)的图象关于点(0,1)对称,而直线y=kx+1过(0,1)点,故两y1+y2

图象的交点(x1,y1),(x2,y2)关于点(0,1)对称,所以2=1,即y1+y2=2.

三、解答题(本大题共3小题,共36分)

17.(12分)(2019·浙江温州中学模拟)设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求实数a的值.

【解析】令t=ax(a>0,且a≠1), 则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0). 1

a,?, ①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=ax∈??a?1

a,?上为增函数. 此时f(t)在??a?1??1?2

所以f(t)max=f??a?=?a+1?-2=14.

1?211

+1=16,解得a=-(舍去)或a=. 所以??a?531?②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈??a,a?, 1?此时f(t)在??a,a?上是增函数. 所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得a=3或a=-5(舍去). 1

综上得a=或3.

3

18.(12分)(2019·河北石家庄二中模拟)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.

(1)求函数f(x)的解析式;

fx

(2)求函数g(x)=x-4ln x的零点个数.

【解析】(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}, 所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0. 所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1. 故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.

x2-2x-33

(2)因为g(x)=-4ln x=x-xx-4ln x-2(x>0), 34(x-1)(x-3)所以g′(x)=1+x2-x=. x2令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.

当x变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下: x g′(x) g(x) (0,1) + 1 0 极大值 (1,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) + 当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.

又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点. 故g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.

19.(12分)(2019·安徽淮北一中模拟)已知某工厂每天固定成本是4万元,每生产一件产品成本增1

加100元,工厂每件产品的出厂价定为a元时,生产x(x>0)件产品的销售收入是R(x)=-4x2+500x(元),总利润

P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润=).销售商从工厂以每件a元进货后,又以每件b元

总产量销售,且b=a+λ(c-a),其中c为最高限价(a<b<c),λ为销售乐观系数,据市场调查,λ由当b-a是c-b,c-a的比例中项时来确定.

(1)每天生产量x为多少时,平均利润P(x)取得最大值?并求P(x)的最大值; (2)求乐观系数λ的值;

(3)若c=600,当厂家平均利润最大时,求a与b的值.

11

【解析】 (1)依题意设总利润为L(x),则L(x)=-4x2+500x-100x-40 000=-4x2+400x-40 000(x>0),

1

-4x2+400x-40 000

140 000140 000

∴P(x)==-x-+400≤-200+400=200,当且仅当x4x4x=x,即x=400时等号成立.

故当每天生产量为400件时,平均利润最大,最大值为200元. (2)由b=a+λ(c-a),得λ=

b-a

. c-a

∵b-a是c-b,c-a的比例中项, ∴(b-a)2=(c-b)(c-a),

(c-a)-(b-a)c-a?c-a?c-a

两边同时除以(b-a)2,得1=·=?b-a-1?,

b-ab-a??b-a

?1?1,解得λ=5-1或λ=-5-1(舍去).故乐观系数λ的值为5-1. ∴1=λ-1·222??λ

40 00040 000

(3)∵厂家平均利润最大,∴a=x+100+P(x)=400+100+200=400. 由b=a+λ(c-a),结合(2)可得b-a=λ(c-a)=100(5-1), ∴b=100(5+3).

故a与b的值分别为400,100(5+3).

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