一、二次函数中的最值问题:
例1:在平面直角坐标系中,全等的两个三角形Rt⊿AOB与Rt A’OC’如图放置,点B、C’ 的坐标分别为(1,3),(0,1),BO 与A’ C’相交于D,若⊿A’OC’绕点O旋转90°至⊿AOC,如图所示(1)若抛物线过C、 A、A’,求此抛物线的解析式及对称轴;∴ y=-x2+2x+3
(2)、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点,问P在何处时△AP A’的面积最大?最大面积是多少?并求出此时的点P的坐标。
(3)、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使△ A’AN与△ A’AP的面积相等?,若存在,
请求出此时点P的坐标,若不存在,请说明理由。
例 2、(2012攀枝花)如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A.C.D均在坐标轴上,
且AB=5,sinB=.
(1)求过A.C.D三点的抛物线的解析式;
(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;
(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A.E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.
2
解答:解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD=CD=BC=5,sinB=sinD=;
Rt△OCD中,OC=CD?sinD=4,OD=3; OA=AD﹣OD=2,即: A(﹣2,0)、B(﹣5,4)、C(0,4)、D(3,0); 设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣3),得: 2×(﹣3)a=4,a=﹣; ∴抛物线:y=﹣x+x+4.
(2)由A(﹣2,0)、B(﹣5,4)得直线AB:y1=﹣x﹣; 由(1)得:y2=﹣x+x+4,则:
22
,
解得:,;
由图可知:当y1<y2时,﹣2<x<5. (3)∵S△APE=AE?h,
∴当P到直线AB的距离最远时,S△ABC最大;
若设直线L∥AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时,该交点为点P; 设直线L:y=﹣x+b,当直线L与抛物线有且只有一个交点时, ﹣x+b=﹣x+x+4,且△=0;
2
求得:b=,即直线L:y=﹣x+;
可得点P(,). 由(2)得:E(5,﹣则点F(
),则直线PE:y=﹣
;
×(
+)=.
.
x+9;新 课 标 第一网
,0),AF=OA+OF=
∴△PAE的最大值:S△PAE=S△PAF+S△AEF=×
综上所述,当P(,)时,△PAE的面积最大,为
针对训练:
2
1、(2013宜宾)如图,抛物线y1=x﹣1交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C. (1)请直接写出抛物线y2的解析式; (2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标;
(3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由.
解答:解:(1)抛物线y1=x﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为(4,﹣1),
2
所以,抛物线y2的解析式为y2=(x﹣4)﹣1; (2)x=0时,y=﹣1,
y=0时,x﹣1=0,解得x1=1,x2=﹣1, 所以,点A(1,0),B(0,﹣1), ∴∠OBA=45°,
2
2
联立,
解得,
∴点C的坐标为(2,3), ∵∠CPA=∠OBA,
∴点P在点A的左边时,坐标为(﹣1,0), 在点A的右边时,坐标为(5,0),
所以,点P的坐标为(﹣1,0)或(5,0); (3)存在. ∵点C(2,3), ∴直线OC的解析式为y=x, 设与OC平行的直线y=x+b,
联立
2
,
消掉y得,2x﹣19x+30﹣2b=0,
当△=0,方程有两个相等的实数根时,△QOC中OC边上的高h有最大值, 此时x1=x2=×(﹣此时y=(
2
)=, ,
﹣4)﹣1=﹣
∴存在第四象限的点Q(
2
,﹣),使得△QOC中OC边上的高h有最大值,
此时△=19﹣4×2×(30﹣2b)=0, 解得b=﹣
,
,
∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣令y=0,则x﹣
=0,解得x=
, ,0),
设直线与x轴的交点为E,则E(
过点C作CD⊥x轴于D,根据勾股定理,OC=则sin∠COD=解得h最大=
2、如图,抛物线y?ax?2=,
=×
=
,
.
3x?2(a?0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为2?4,0?.
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究?ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求?MBC的面积的最大值,并类型一、最值问题:
y
O BAx
C
M
类型一、最值问题:
(2013?泸州)如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(1,﹣),已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)经过三点A、B、O(O为原点). (1)求抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上,是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点,那么△PAB是否有最大面积?若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)
2
考点: 二次函数综合题. 分析: (1)直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式,可求解析式; (2)因为点A,O关于对称轴对称,连接AB交对称轴于C点,C点即为所求,求直线AB的解析式,再根据C点的横坐标值,求纵坐标; (3)设P(x,y)(﹣2<x<0,y<0),用割补法可表示△PAB的面积,根据面积表达式再求取最大值时,x的值. 2解答: 解:(1)将A(﹣2,0),B(1,﹣),O(0,0)三点的坐标代入y=ax+bx+c(a≠0), 可得:,