燕尾定理
燕尾定理：
在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．
例题精讲
AEO
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC
AS2ES3BS1S4DCFBDC
【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，
所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与三角形
CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.
【例 1】 如右图，三角形ABC中，BD:DC?4:9，CE:EA?4:3，求AF:FB．
AFBODEC
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27
S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【答案】27:16
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?3:4，AE:CE?5:6，求AF:FB.
AFBODEC
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20 S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB
【答案】10:9
【巩固】如图，BD:DC?2:3,AE:CE?5:3,则AF:BF?
AECFBDG【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据燕尾定理有S△ABG:S△ACG?2:3?10:15,S△ABG:S△BCG?5:3?10:6,所以
S△ACG:S△BCG?15:6?5:2?AF:BF
【答案】5:2
【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC?2:3，EA:CE?5:4，求AF:FB.
AFBODEC【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15
S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8
（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB
【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【答案】15:8
【例 2】 如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?
AF84O403035E
【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设S△BOF?x，由题意知BD:DC?4:3根据燕尾定理,得
33S△ABO:S△ACO?S△BDO:S△CDO?4:3,所以S△ACO??(84?x)?63?x，
443再根据S△ABO:S△BCO?S△AOE:S△COE，列方程(84?x):(40?30)?(63?x?35):35解得x?56
4S△AOE:35?(56?84):(40?30),所以S△AOE?70
所以三角形ABC的面积是84?40?30?35?56?70?315
【答案】315
【例 3】 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交
于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．
ABDCAAEBDFCB33EF312CD
EFBDC【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛 【解析】 方法一：连接CF，
SBD1S△ABFAE根据燕尾定理，△ABF??，??1,
S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标
55所以SDCEF?S△ABC?
121211方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?，
33BFS△ABD11121??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以
FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，
223232122115而S△CDE???S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于．
323125【答案】
12
【巩固】如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.