小学奥数4-3-6 燕尾定理.教师版

燕尾定理

燕尾定理:

在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.

例题精讲

AEO

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理:

如右图,D是BC上任意一点,请你说明:S1:S4?S2:S3?BD:DC

AS2ES3BS1S4DCFBDC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高,分别以BD、DC为底,

所以有S1:S4?BD:DC;三角形ABE与三角形EBD同高,S1:S2?ED:EA;三角形ACE与三角形

CED同高,S4:S3?ED:EA,所以S1:S4?S2:S3;综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.

【例 1】 如右图,三角形ABC中,BD:DC?4:9,CE:EA?4:3,求AF:FB.

AFBODEC

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?4:9?12:27

S△AOB:S△BOC?AE:CE?3:4?12:16

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?27:16?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果

能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!

【答案】27:16

【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?3:4,AE:CE?5:6,求AF:FB.

AFBODEC

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?3:4?15:20 S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:6?15:18

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?20:18?10:9?AF:FB

【答案】10:9

【巩固】如图,BD:DC?2:3,AE:CE?5:3,则AF:BF?

AECFBDG【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据燕尾定理有S△ABG:S△ACG?2:3?10:15,S△ABG:S△BCG?5:3?10:6,所以

S△ACG:S△BCG?15:6?5:2?AF:BF

【答案】5:2

【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:DC?2:3,EA:CE?5:4,求AF:FB.

AFBODEC【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOC?BD:CD?2:3?10:15

S△AOB:S△BOC?AE:CE?5:4?10:8

(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数) 所以S△AOC:S△BOC?15:8?AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果

能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!

【答案】15:8

【例 2】 如图,三角形ABC被分成6个三角形,已知其中4个三角形的面积,问三角形ABC的面积是多少?

AF84O403035E

【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设S△BOF?x,由题意知BD:DC?4:3根据燕尾定理,得

33S△ABO:S△ACO?S△BDO:S△CDO?4:3,所以S△ACO??(84?x)?63?x,

443再根据S△ABO:S△BCO?S△AOE:S△COE,列方程(84?x):(40?30)?(63?x?35):35解得x?56

4S△AOE:35?(56?84):(40?30),所以S△AOE?70

所以三角形ABC的面积是84?40?30?35?56?70?315

【答案】315

【例 3】 如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的中点,点D在BC上,且BD:DC?1:2,AD与BE交

于点F.则四边形DFEC的面积等于 .

ABDCAAEBDFCB33EF312CD

EFBDC【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】希望杯,五年级,初赛 【解析】 方法一:连接CF,

SBD1S△ABFAE根据燕尾定理,△ABF??,??1,

S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份,则S△DCF?2份,S△ABF?3份,S△AEF?S△EFC?3份,如图所标

55所以SDCEF?S△ABC?

121211方法二:连接DE,由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?,

33BFS△ABD11121??, S△ADE?S△ADC??S△ABC?,所以

FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?,

223232122115而S△CDE???S△ABC?.所以则四边形DFEC的面积等于.

323125【答案】

12

【巩固】如图,已知BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.

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