第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－3y－4＝0相切，则圆O的方程为( )
2222
A．x＋y＝4 B．x＋y＝3
2222
C．x＋y＝2 D．x＋y＝1
4
解析：选A.依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y－4＝0的距离，即r＝1＋3
22
＝2，得圆O的方程为x＋y＝4.
22
2．(2016·泉州质检)若直线3x－4y＝0与圆x＋y－4x＋2y－7＝0相交于A，B两点，则弦AB的长为( ) A．2 B．4 C．22 D．42
2222
解析：选D.圆x＋y－4x＋2y－7＝0的标准方程为(x－2)＋(y＋1)＝12，则圆心为(2，－|6＋4|22
1)，半径r＝23，又圆心到直线3x－4y＝0的距离d＝＝2，所以弦AB的长为2r－d5＝212－4＝42.
2222
3．(2016·甘肃省诊断考试)已知圆O1：(x－a)＋(y－b)＝4，O2：(x－a－1)＋(y－b－2)＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是( ) A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
222
解析：选C.由O1：(x－a)＋(y－b)＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)
2
＋(y－b－2)＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝1＋2＝5，因为|2－1|＝1＜5＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.
22
4．(2015·高考安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12 3b22
解析：选D.法一：由3x＋4y＝b，得y＝－x＋，代入x＋y－2x－2y＋1＝0，并化简得
4425x－2(4＋3b)x＋b－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)－4×25(b－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
|3×1＋4×1－b|22
法二：由圆x＋y－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以22
3＋4
＝1，解得b＝2或12.
→→22
5．(2016·唐山模拟)已知圆C：x＋y＝1，点M(t，2)，若C上存在两点A，B满足MA＝AB，则t的取值范围是( ) A．[－2，2] C．[－5，5] 解析：
B．[－3，3] D．[－5，5]
2
2
2
2
2
2
选C.如图，连接OM交圆于点D. →→
因为MA＝AB，所以A是MB的中点， 因为圆x＋y＝1的直径是2， 所以MA＝AB≤2.
又因为MD≤MA，OD＝1， 所以OM≤3.
即点M到原点的距离小于等于3，
所以t＋4≤9，所以－5≤t≤5.
22
6．(2016·重庆一模)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x＋y－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为( ) A．3
B.
21 2
2
2
2
C．22 D．2
22
解析：选D.圆C：x＋y－2y＝0的圆心是(0，1)，半径是r＝1，
22
因为PA是圆C：x＋y－2y＝0的一条切线，A是切点，PA的最小长度为2，所以圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离为5，
|1＋4|
由点到直线的距离公式可得2＝5，
k＋1
因为k＞0，
所以k＝2，故选D.
22
7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x＋(y－3)＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为________．
解析：设A(a，0)，由题意可得A，P，C，Q四点共圆，且AC是该圆的一条直径，记该圆的
22
圆心为D，则圆D的方程为x＋y－ax－3y＝0.易知PQ是圆C和圆D的公共弦，又圆C的方
22
程为x＋y－6y＋7＝0，所以两圆方程相减可得PQ：ax－3y＋7＝0，则圆心C到直线PQ的距离d＝??0，2?，所以|PQ|＝22－d2∈?2142
，又a≥0，所以d∈?3??，22?. 2
???3?a＋9
2
答案：?
?214?
，22? ?3?
3
8．(2016·云南省统一检测)已知f(x)＝x＋ax－2b，如果f(x)的图像在切点P(1，－2)处
22
的切线与圆(x－2)＋(y＋4)＝5相切，那么3a＋2b＝________．
2
解析：由题意得f(1)＝－2?a－2b＝－3，又因为f′(x)＝3x＋a，所以f(x)的图像在点(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，
|（3＋a）×2＋4－a－5|5所以＝5?a＝－， 2
2（3＋a）＋11
所以b＝，
4所以3a＋2b＝－7.
答案：－7
22
9．(2016·太原模拟)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x＋y－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________． 12
解析：四边形PACB的面积可表示为S＝2××|PA|×1＝|PA|＝|PC|－1，故当|PC|最小
2时，四边形PACB的面积最小．而|PC|的最小值是点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，此时|PC|＝3，故Smin＝22. 答案：22
22
10．过直线x＋y－22＝0上的点P作圆x＋y＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
解析：因为点P在直线x＋y－22＝0上，
所以可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M. 因为两条切线的夹角为60°，
所以∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有|OP| ＝2|OM|＝2.
由两点间的距离公式得
|OP|＝ x0＋（－x0＋22）＝2，
解得x0＝2.
故点P的坐标是(2，2)． 答案：(2，2)
22
11．已知圆C：(x－1)＋(y＋2)＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l1：x＋y－4＝0平行； (2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直； (3)过切点A(4，－1)．
解：(1)设切线方程为x＋y＋b＝0， |1－2＋b|则＝10，所以b＝1±25，
2所以切线方程为x＋y＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x＋y＋m＝0， |2－2＋m|则＝10，
5所以m＝±52，
所以切线方程为2x＋y±52＝0.
－2＋11
(3)因为kAC＝＝，
1－43
所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
所以过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)， 即3x＋y－11＝0.
22
12．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)＋(y－3)＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围；
→→
(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
2
2