2018届高考数学一轮第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系

第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.在直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆与直线x-3y-4=0相切,则圆O的方程为( )

2222

A.x+y=4 B.x+y=3

2222

C.x+y=2 D.x+y=1

4

解析:选A.依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-3y-4=0的距离,即r=1+3

22

=2,得圆O的方程为x+y=4.

22

2.(2016·泉州质检)若直线3x-4y=0与圆x+y-4x+2y-7=0相交于A,B两点,则弦AB的长为( ) A.2 B.4 C.22 D.42

2222

解析:选D.圆x+y-4x+2y-7=0的标准方程为(x-2)+(y+1)=12,则圆心为(2,-|6+4|22

1),半径r=23,又圆心到直线3x-4y=0的距离d==2,所以弦AB的长为2r-d5=212-4=42.

2222

3.(2016·甘肃省诊断考试)已知圆O1:(x-a)+(y-b)=4,O2:(x-a-1)+(y-b-2)=1(a,b∈R),则两圆的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切

222

解析:选C.由O1:(x-a)+(y-b)=4得圆心坐标为(a,b),半径为2;由O2:(x-a-1)

2

+(y-b-2)=1得圆心坐标为(a+1,b+2),半径为1,所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|=1+2=5,因为|2-1|=1<5<2+1=3,所以两圆相交,故选C.

22

4.(2015·高考安徽卷)直线3x+4y=b与圆x+y-2x-2y+1=0相切,则b的值是( ) A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12 3b22

解析:选D.法一:由3x+4y=b,得y=-x+,代入x+y-2x-2y+1=0,并化简得

4425x-2(4+3b)x+b-8b+16=0,Δ=4(4+3b)-4×25(b-8b+16)=0,解得b=2或12.

|3×1+4×1-b|22

法二:由圆x+y-2x-2y+1=0可知圆心坐标为(1,1),半径为1,所以22

3+4

=1,解得b=2或12.

→→22

5.(2016·唐山模拟)已知圆C:x+y=1,点M(t,2),若C上存在两点A,B满足MA=AB,则t的取值范围是( ) A.[-2,2] C.[-5,5] 解析:

B.[-3,3] D.[-5,5]

2

2

2

2

2

2

选C.如图,连接OM交圆于点D. →→

因为MA=AB,所以A是MB的中点, 因为圆x+y=1的直径是2, 所以MA=AB≤2.

又因为MD≤MA,OD=1, 所以OM≤3.

即点M到原点的距离小于等于3,

所以t+4≤9,所以-5≤t≤5.

22

6.(2016·重庆一模)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点,PA是圆C:x+y-2y=0的一条切线,A是切点,若PA的最小长度为2,则k的值为( ) A.3

B.

21 2

2

2

2

C.22 D.2

22

解析:选D.圆C:x+y-2y=0的圆心是(0,1),半径是r=1,

22

因为PA是圆C:x+y-2y=0的一条切线,A是切点,PA的最小长度为2,所以圆心到直线kx+y+4=0的距离为5,

|1+4|

由点到直线的距离公式可得2=5,

k+1

因为k>0,

所以k=2,故选D.

22

7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x+(y-3)=2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长的取值范围为________.

解析:设A(a,0),由题意可得A,P,C,Q四点共圆,且AC是该圆的一条直径,记该圆的

22

圆心为D,则圆D的方程为x+y-ax-3y=0.易知PQ是圆C和圆D的公共弦,又圆C的方

22

程为x+y-6y+7=0,所以两圆方程相减可得PQ:ax-3y+7=0,则圆心C到直线PQ的距离d=??0,2?,所以|PQ|=22-d2∈?2142

,又a≥0,所以d∈?3??,22?. 2

???3?a+9

2

答案:?

?214?

,22? ?3?

3

8.(2016·云南省统一检测)已知f(x)=x+ax-2b,如果f(x)的图像在切点P(1,-2)处

22

的切线与圆(x-2)+(y+4)=5相切,那么3a+2b=________.

2

解析:由题意得f(1)=-2?a-2b=-3,又因为f′(x)=3x+a,所以f(x)的图像在点(1,-2)处的切线方程为y+2=(3+a)(x-1),即(3+a)x-y-a-5=0,

|(3+a)×2+4-a-5|5所以=5?a=-, 2

2(3+a)+11

所以b=,

4所以3a+2b=-7.

答案:-7

22

9.(2016·太原模拟)已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x+y-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是________. 12

解析:四边形PACB的面积可表示为S=2××|PA|×1=|PA|=|PC|-1,故当|PC|最小

2时,四边形PACB的面积最小.而|PC|的最小值是点C到直线3x+4y+8=0的距离,此时|PC|=3,故Smin=22. 答案:22

22

10.过直线x+y-22=0上的点P作圆x+y=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.

解析:因为点P在直线x+y-22=0上,

所以可设点P(x0,-x0+22),且其中一个切点为M. 因为两条切线的夹角为60°,

所以∠OPM=30°.故在Rt△OPM中,有|OP| =2|OM|=2.

由两点间的距离公式得

|OP|= x0+(-x0+22)=2,

解得x0=2.

故点P的坐标是(2,2). 答案:(2,2)

22

11.已知圆C:(x-1)+(y+2)=10,求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l1:x+y-4=0平行; (2)与直线l2:x-2y+4=0垂直; (3)过切点A(4,-1).

解:(1)设切线方程为x+y+b=0, |1-2+b|则=10,所以b=1±25,

2所以切线方程为x+y+1±25=0. (2)设切线方程为2x+y+m=0, |2-2+m|则=10,

5所以m=±52,

所以切线方程为2x+y±52=0.

-2+11

(3)因为kAC==,

1-43

所以过切点A(4,-1)的切线斜率为-3,

所以过切点A(4,-1)的切线方程为y+1=-3(x-4), 即3x+y-11=0.

22

12.(2015·高考全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)+(y-3)=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围;

→→

(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

2

2

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