专题10：代数综合问题
1. （2012广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题： (1)写出奇数a用整数n表示的式子；
(2)写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
(3)函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)．
下面对函数y=x的某种数值变化规律进行初步研究：
xi yi yi+1－yi
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5... 请回答：
0 0 1 1 1 3 2 4 5 3 9 7 4 16 9 5 25 11 ... ... ... 2
1个单位时，y的值变化规律是什么？ 21当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
n当x的取值从0开始每增加
【答案】解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。
（2）有理数b=
m。 （n≠0）
n1个单位时，列表如下： 235 2 22925 4 447911 444（3）①当x的取值从0开始每增加
xi yi yi+1－yi 0 0 1 41 21 43 41 1 ... ... ... 5 4
故当x的取值从0开始每增加
113个单位时，y的值依次增加、 、24452i?1 …。 44②当x的取值从0开始每增加
xi yi yi+1－yi 0 0 1n2
1 n1 n23 n22 n4 n25 n21个单位时，列表如下： n345 nnn91625 n2n2n27911 n2n2n2... ... ...
故当x的取值从0开始每增加
131个单位时，y的值依次增加2、2 、nnn5n2 …
2i?1n2。
【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。
【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1。
（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此
可以得到答案。
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律。
2. （2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x+px+q=0（p﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．
（2）已知抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d取得最小值，并求出最小值．
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2
【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p﹣4q≥0，
∴x1?x2??=?p，x1?x2?=q。
（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。
∵d=|x1﹣x2|，
∴d=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4 x1?x2=p﹣4q=p﹣4p+8=（p﹣2）+4。 ∴当p=2时，d 的最小值是4。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。
【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】
（2）把点（﹣1，﹣1）代入抛物线的解析式，再由d=|x1﹣x2|可得d关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结论。
3. （2012广东湛江12分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式x﹣4＞0 解：∵x﹣4=（x+2）（x﹣2） ∴x﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2． （1）一元二次不等式x﹣16＞0的解集为 ； （2）分式不等式
的解集为 ；
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baca（3）解一元二次不等式2x﹣3x＜0．
【答案】解：（1）x＞4或x＜﹣4。 （2）x＞3或x＜1。 （3）∵2x﹣3x=x（2x﹣3）
∴2x﹣3x＜0可化为 x（2x﹣3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
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?x>0?x<0①②。 或??2x?3<02x?3>0??3，解不等式组②，无解。 232
∴不等式2x﹣3x＜0的解集为0＜x＜。
2解不等式组①，得0＜x＜
【考点】有理数的乘法法则，一元一次不等式组的应用。
【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”化为两个一元一次不等式组求解即可。
（2）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，可以得到其分子、分母同号，
从而转化为两个一元一次不等式组求解即可。
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后，有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，化为两个一元一次不等式组求解即可。
4. （2012贵州黔西南14分）问题：已知方程x2+x?1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y 2?y?yy把x=代入已知方程，得??+?1=0
2?2?2化简，得：y2+2y?4=0 故所求方程为y2+2y?4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
（1）已知方程x2+x?2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0?a?0?有两个不等于零的实数根，求一个一
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