分
又d12＝PA2＝225，
S1S2S1λS11λ
此时，m1－m2＝k2－k2＝k2－k2＝kS1(2－2)， …………………………4分
d1 d2 d1 d2 d1 d2111
将λ＝，d12＝225，d22＝175代入，得m1－m2＝kS1(－)．
2225350
因为kS1＞0，所以m1＞m2，
即居住在P点处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：
y P 以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(10，0)，设P(x，y)，
S1S2
由m1＜m2得，k2＜k2，将S2＝λS1代入，得d22＜λd12．……8分
d1 d2代入坐标，得(x－10)2＋y2＜λ(x2＋y2)，
化简得(1－λ) x2＋(1－λ) y2－20x＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x－
102210λ2
)＋y＜()， 1－λ1－λ
A（O） (第17题)
B x 1010λ所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是：圆心为C(，0)，半径为r1＝的圆的1－λ1－λ
内部．
与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10，0)，半径为r2＝2的圆的内部及
圆周．
由题设，圆B内含于圆C，即BC＜| r1－r2|． …………………………12
分
1010λ
因为0＜λ＜1，所以－10＜－2，
1－λ1－λ
1
整理得4λ－5λ＋1＜0，解得＜λ＜1．
16
1
所以，所求λ的取值范围是(，1)． …………………………14
16
分
解法二：
要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”， 则当d2≤2时，不等式m1＜m2恒成立．
S1S2λS1d22
2
由m1＜m2，得k2＜k2＝k2，化简得d1＞． …………………………8分
d1 d2 d2λ设∠PBA＝θ，
则d12＝PA2＝AB2＋PB2－2AB·PBcosθ＝100＋d22－20d2cosθ， …………………………10
分
d2
100＋d22－20d2cosθ＞λ
2
d2
100＋d22－，即
λ
20d2
2
所以＞cosθ．
d222
100＋d2－
上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有
λ
20d2
＞1， ………………………12
分
11111
即1－＞20·－100·()2＝－100(－)2＋1 (*)．
λd2d2d21011由于d2≤2，所以≥．
d22
11
当＝时，不等式(*)右端的最大值为－15， d2211
所以1－＞－15，解得λ＞．
λ16又0＜λ＜1，
1
所以λ的取值范围是(，1)． ………………………14
16
分
18．(本小题满分16分)
??c＝2，
解：（1）因为?a2 所以c＝1，b2＝a2－c2＝1，
??a＝2，
x22
所以椭圆E的方程为＋y＝1． …………………………2
2
分
解法一：
（2）由（1）得A(0，1)．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)，其中x0，y0均不为0，且x1≠x2． 因为P，Q两点都在椭圆E上，所以x12＋2y12＝2 且x22＋2y22＝2，
y2－y1y01
两式相减得×＝－． …………………………4
2x2－x1x0
分
又
分
即x02＝2y0(m－y0)． ①
y0－1y0
又AC⊥OC，所以×＝－1， …………………………8
x0x0
分
即x02＝y0(1－y0)． ②
由①②得y0＝2m－1，x02＝(1－2m) (2m－2)∈(0，2)，
1
所以＜m＜1． …………………………
2
10分
（3）设B(x3，y3)，点B在椭圆E上，所以x32＋2y32＝2．
y3－1y0x
又AC⊥OC，所以×＝－1，即y3＝－0x3＋1，
x3x0y0
4xy
代入上式消去y3，得x3＝2002， …………………………12
y0＋2x0
y2－y1y0－my0－my01
＝ ，所以×＝－， …………………………6
x0x0x02x2－x1
分
1
AO×|x3|S12x4y所以＝＝|3|＝|202 |．
S21x0y0＋2x0
AO×|x0|2
1
由（2）知y0＝2m－1，x02＝(1－2m) (2m－2)，＜m＜1，
2
4(2m－1)S44
所以1＝| |＝| |＝． …………………………2S2(2m－1)＋2(1－2m)(2m－2)3－2m3－2m
14分
83S184因为＝，所以＝，解得m＝，
4S233－2m3
111
此时y0＝2m－1＝，x02＝(1－2m) (2m－2)＝，所以x0＝±，
242311
所以C点坐标为(±，)，D点坐标为(0，)，
422
13
所以直线l的方程为y＝±x＋． …………………………16
24
分
解法二：
（2）由（1）得A(0，1)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)．
设直线l方程为y＝kx＋m(k≠0)，
将其与椭圆E的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0 (*)，
所以x1＋x2＝
分
x1＋x2－2km－2kmmm
所以x0＝＝，y＝kx＋m＝，即C(，)， 00
21＋2k21＋2k21＋2k21＋2k2
m
－12
y0－11＋2k2k2＋1－m
所以kAC＝＝＝． …………………………6
－2kmx02km1＋2k2
分
m2
y01＋2k1
又因为kOC＝＝＝－，且AC⊥OC，
x0－2km2k
1＋2k22k2＋1－m1
所以kAC×kOC＝×(－)＝－1，
2km2k
2k2＋1
整理得m＝2． …………………………8
4k＋1
－4km
， …………………………41＋2k2
分
12k2＋14k2＋1－2k22k21
因为k≠0，则m＝2＝＝1－＝1－∈(，1)，
214k＋14k2＋14k2＋1
2＋2 2k此时△＝8(2k2＋1－m)＞0，
1
所以实数m的取值范围为(，1)． …………………………10
2
分
（3）设B(x3，y3)，
1
kAB＝－＝2k，所以直线AB的方程为y＝2kx＋1，
kOC与椭圆E方程联立解得x＝－
12分
－2km－2k2k2＋1－2k
又因为x0＝＝×＝，
1＋2k21＋2k24k2＋11＋4k2
－8k1
AO×|x3|1＋8k2
4＋16k2S12
所以＝＝||＝． …………………………14
－2kS211＋8k2
AO×|x0|21＋4k2
分
14＋16k28S18
因为＝，所以＝，解得k＝±，
2S231＋8k2332k2＋13
此时m＝2＝，D点坐标为(0，)，
44k＋14
13
所以直线l的方程为y＝±x＋． …………………………16
24
分
19．(本小题满分16分)
（1）解：y＝f(x)＋2x＝xex，由y ′＝(1+ x)ex＝0，解得x＝－1.
列表如下： (－∞，－1) x －1 y′ 0 － y ↘ 极小值 8k8k
或0（舍），即x＝－． …………………3
1＋8k21＋8k2
(－1，＋∞) ＋ ↗ 1
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值－ ． ………………………2分
e1
（2）解：F(x)＝f(x)＋g(x)＝xex－x－lnx＋k，F ′(x)＝(x＋1)(ex－)，
x
11
设h(x)＝ex－(x＞0)，则h ′(x)＝ex＋2＞0恒成立，
xx所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．