五章习题解答
5.1 真空中直线长电流I的磁场中有一等边三角形回路，如题5.1图所示，求三角形回路内的磁通。
解 根据安培环路定理，得到长直导线的电流I产生的磁场
z I d B?e?b 穿过三角形回路面积的磁通为
?0I 2?rx
S 题 5.1 图
???B?dS??0IS2?d?3b2?d?I2[?dz]dx?0x0?zd?3b2?dzdx x由题5.1图可知，z?(x?d)tan?6?x?d，故得到 3?I??03?d?3b2?dx?d?Ibd3b
dx?0[?ln(1?)]x?22d35.2 通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，如题5.2图所
示。计算各部分的磁感应强度B，并证明腔内的磁场是均匀的。
解 将空腔中视为同时存在J和?J的两种电流密度，这样可将原来的电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内，另一个电流密度为?J、均匀分布在半径为a的圆柱内。由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。
由安培环路定律
??B?dl??I，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内的电
0C??0?2J?rbrb?b 流产生的磁场为 Bb???2??0bJ?rbrb?b2?2rb?电流密度为?J、均匀分布在半径为a的圆柱内的电流产生的磁场为
??0??2J?rara?a? Ba??2???0aJ?rara?a2?ra?2这里ra和rb分别是点oa和ob到场点P的位置矢量。
将Ba和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为
2?b2?a 圆柱外：B?J??2rb?2ra? (rb?b) 2ra??rb2???a0 圆柱内的空腔外：B?J??rb?2ra? (rb?b,ra?a) 2ra???? 空腔内： B?0J??rb?ra??0J?d (ra?a) 22J rb b d oaob ra a题5.2图
?0式中d是点和ob到点oa的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。
5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量J。
(1) H?ear,B??H （圆柱坐标）
r0(2) H?ex(?ay)?eyax,B??0H (3) H?exax?eyay,B??0H
(4) H?e?ar,B??0H（球坐标系）
解 根据恒定磁场的基本性质，满足??B?0的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则，不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由J???H求出源分布。
1?1?（1）在圆柱坐标中 ??B?(rBr)?(ar2)?2a?0
该矢量不是磁场的场矢量。 （2） ??B?r?rr?r??(?ay)?(ax)?0 ?x?yexeyez??? 该矢量是磁场的矢量，其源分布为 J???H??ez2a?x?y?z?ayax0?? （3） ??B?(ax)?(?ay)?0
?x?yexeyez该矢量是磁场的场矢量，其源分布为 J???H?????0
?x?y?zax?ay0 （4） 在球坐标系中 ??B?1?B?1??(ar)?0
rsin???rsin???该矢量是磁场的场矢量，其源分布为
erre?rsin?e?1???J???H?2?eractag??e?2a
rsin??r????00ar2sin??J(r?)5.4 由矢量位的表示式A(r)?d??证明磁感应强度的积分公式 ?4??R?0J(r?)?RB(r)?d?? 3?4??R并证明??B?0
???J(r?)J(r?)1解: B(r)???A(r)???0?d???0???d????0?J(r?)??()d???
4??R4??R4??R?0?0J(r?)?RR???J(r)?(?3)d??d?? 3??4??R4??R??B???[??A(r)]?0
5.5 有一电流分布J(r)?ezrJ0(r?a)，求矢量位A(r)和磁感应强度B(r)。
解 由于电流只有ez分量，且仅为r的函数，故A(r)也只有ez分量，且仅为r的函数，即在圆柱坐标系中，由A(r)满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出A(r)，A(r)?ezAz(r)。z然后由B(r)???A(r)可求出B(r)。
记r?a和r?a的矢量位分别为A1(r)和A2(r)。由于在r?a时电流为零，所以
1??Az1?2Az1(r)?(r)???0J0r （r?a）
r?r?r1??Az2?2Az2(r)?(r)?0 （r?a）
r?r?r由此可解得
1Az1(r)???0J0r3?C1lnr?D1
9Az2(r)?C2lnr?D2
Az1(r)和Az2(r)满足的边界条件为 ① r?0时，A(r)为有限值
z1?A?Az2 ② r?a时，A(a)?A(a)，z1r?a?r?az1z2?r?r111由条件①、②，有 C1?0，??0J0a3?C2lna?D2，??0J0a2?C2 93a111由此可解得 C2???0J0a3，D2???0J0a3(?lna) 333故
1Az1(r)???0J0r3?D1 （r?a）
9111Az2(r)???0J0a3lnr??0J0a3(?lna) （r?a）
333式中常数D1由参考点确定，若令r?0时，Az1(r)?0，则有D1?0。
空间的磁感应强度为
z P(x,y,z)
? r a b I 题5.6图
y
x 矩形回路。
（1）求远处的任一点P(x,y,z)的矢量位A(r)，并证明它可以写成 A(r)?1 ?0J0r2 （r?a）3?0J0a3 （r?a） B2(r)???A2(r)?e?3r5.6 如题5.6图所示，边长分别为a和b、载有电流I的小
B1(r)???A1(r)?e??0pm?r。 其中
pm?ezIab； 34?r（2）由A求磁感应强度B，并证明B可以写成
?0Iabez?er场点对小电流回路所张的立体角。
?(d?) 式中d??4?r2?I1解 （1）电流回路的矢量位为 A(r)?0?d?l ?4?CRB??式中：R?[(x?x?)2?(y?y?)2?z2]12?[r2?2rsin?(x?cos??y?sin?)?x?2?y?2]12 根据矢量积分公式
???dl??dS???，有
CS11???dl?dS??() ???RRCS而 ??()???() 所以 A(r)??1R1R?0I1?dS??() ?4?SR对于远区场，r??x?,r??y?，所以R?r，故
?0I?011??dS??()??[IdS]??()???0(ezIab)??(1)? ??4?Sr4?Sr4?r??p?rr?0pm?(?3)?0m3 4?r4?r??psin? r（2）由于 A(r)??0pmez?(?)?e?0m4?r34?r2?p1?1?故 B???A?er(sin?A?)?e?(rA?)?0m3(er2cos??e?sin?) 4?rrsin???r?rez?er cos?3又由于 er2cos??e?sin???r3?()??r?()22A(r)??rr?p?Iabez?er?0Ie?e故 B??0m?(zr)??0?()???(d?) 224?r4?r4?5.7 半径为a磁介质球，具有磁化强度为
其中A和B为常数，求磁化电流和等效磁荷。
解 磁介质球内的磁化电流体密度为 J???M??e??(Az2?B)??e?e2Az?0
mzzzM?ez(Az2?B)
?等效磁荷体密度为 ?m????M??(Az2?B)??2Az
磁介质球表面的磁化电流面密度为
?zz
I
JmS?M?nr?a?ez?er(Aa2cos2??B)?
e?(Aa2cos2??B)sin?
等效磁荷面密度为
?1??0 ?2??
?m?n?Mx
r?a?er?ez(Aa2cos2??B)?
(Aa2cos2??B)cos?
5.8 如题5.8所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为
（1）两种磁介质中的磁感?1和?2的两种磁介质的分界面，试求：
题5.8图
应强度B1和B2；（2）磁化电流分布。
解 （1）由安培环路定理，可得 H?e?所以得到 B1??0H?e?I
2?r?0I 2?r?I
B2??H?e?2?r(???0)I1 （2）磁介质在的磁化强度 M? B2?H?e??02??0r(???0)I1d1d1则磁化电流体密度 Jm???M?ez(rM?)?ez(r?)?0
rdr2??0rdr在r?0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r?0处存在磁化线电
H1(P1) H2(P1) 流Im。以z轴为中心、r为半径作一个圆形回路C，由安培环路定理，
?l 1?I?h 有 I?Im?B?dl?????0C0H1(P2)H2(P2) ??1 ?2故得到 Im?(?1I) ?0题5.9图
在磁介质的表面上，磁化电流面密度为
z=0JmS=M?ezer(???0)I
2??0r5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为H0，若此平面电流回路位于磁导率分别为?1和?2的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质中的磁场强度H1和H2。 解 由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有法向分量，根据边界条件，有B1?B2?B。在分界面两侧作一个小矩形回路，分别就真空和存在介质两种不同情况，应用安培环路定律即可导出H1、H2与H0的关系。 在分界面两侧，作一个尺寸为2?h??l的小矩形回路，如题5.9图所示。根据安培环路定律，有
??H?dl?H(P)?h?H11C2(P1)?h?H1(P2)?h?H2(P2)?h?I （1）
因H垂直于分界面，所以积分式中H??l?0。这里I为与小矩形回路交链的电流。 对平面电流回路两侧为真空的情况，则有
??HC0?dl?2H0(P1)?h?2H0(P2)?h?I （2）
由于P和P是分界面上任意两点，由式（1）和（2）可得到 H1?H2?2H0
12即
B?22?1?2于是得到 B?H0
?1??22?22?1BB故有 H1??H0 H2??H0
?2?1??2?1?1??2?1?B?2H0
5.10 证明：在不同介质分界面上矢量位A的切向分量是连续的。