第十章 曲线积分与曲面积分
(一)
1．计算??x?y?dx，其中L为连接?1,0?及?0,1?两点的连直线段。
L2．计算?Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?ax。
3．计算??x2?y2?ds，其中L为曲线x?a?cost?tsint?，y?a?sint?tcost?，
L?0?t?2??。
4．计算?eLx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一
角限内所围成的扇形的整个边界。
4?4????33??5．计算??x?y?ds，其中L为内摆线x?acos3t，y?asin3t?0?t??L2????在第一象限内的一段弧。
6．计算
?Lz2ds，其中L为螺线x?acots，y?asint，22x?yz?at?0?t?2??。
7．计算?xydx，其中L为抛物线y2?x上从点A?1,?1?到点B?1,1?的一段弧。
L8．计算?x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L是从点A?3,2,1?到点B?0,0,0?的直线
L段AB。
9．计算?xdx?ydy??x?y?1?dz，其中L是从点?1,1,1?到点?2,3,4?的一段直
L线。
10．计算??2a?y?dx??a?y?dy，其中L为摆线x?a?t?sint?，y?a?1?cost?L的一拱(对应于由t从0变到2?的一段弧)：
11．计算??x?y?dx??y?x?dy，其中L是：
L1）抛物线y2?x上从点?1,1?到点?4,2?的一段弧；
2）曲线x?2t2?t?1，y?t2?1从点?1,1?到?4,2?的一段弧。
12．把对坐标的曲线积分?P?x,y?dx?Q?x,y?dy化成对弧和的曲经积分，其
L中L为：
1）在xoy平面内沿直线从点?0,0?到?3,4?； 2）沿抛物线y?x2从点?0,0?到点?4,2?； 3）沿上半圆周x2?y??2x从点?0,0?到点?1,1?。 13．计算
??eLxsiny?mydx?excosy?mxdy其中L为x?a?t?sint?，
???y?a?1?cost?，0?t??，且t从大的方向为积分路径的方向。
14．确定?的值，使曲线积分????x4?4xy?dx?6x??1y2?5y4dy与积分路径
???无关，并求A?0,0?，B?1,2?时的积分值。
15．计算积分??2xy?x2?dx??x?y2?dy，其中L是由抛物线y?x2和y2?xL所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。
16．利用曲线积分求星形线x?acos3t，y?asin3t所围成的图形的面积。 17．证明曲线积分??3,4??1,2?6xy?2?y3dx?6x2y?3xy2dx在整个xoy平面内与路
???径无关，并计算积分值。
18．利用格林公式计算曲线积分
??xyL2cosx?2xysinx?y2exdx?x2sinx?2yexdy，其中L为正向星形
???线x?y?a232323?a?0?。
L19．利用格林公式，计算曲线积分??2x?y?4?dx??5y?3x?6?dy，其中L为三顶点分别为?0,0?、?3,0?和?3,2?的三角形正向边界。
20．验证下列P?x,y?dx?Q?x,y?dy在整个xoy平面内是某函数u?x,y?的全微分，并求这样的一个u?x,y?，?3x2y?8xy2?dx??x3?8x2y?12yey?dy。
21．计算曲面积分??x2?y2dx，其中?为抛物面z?2??x2?y2?在xoy平
???面上方的部分。
22．计算面面积分??2xy?2x2?x?zds，其中?为平面和三坐标闰面所围
???立体的整个表面。
24．求抛物面壳z?12x?y2?0?z?1?的质量，壳的度为t?z。 2??25．求平面z?x介于平面x?y?1，y?0和x?0之间部分的重心坐标。 26．当?为xoy平面内的一个闭区域时，曲面积分??R?x,y,z?dxdy与二重积
?分有什么关系？
27．计算曲面积分??zdxdy?xdydz?ydzdx其中?为柱面x2?y2?1被平面
?z?0及z?3所截的在第一卦限部分的前侧。
28．计算
2222??xdydz?ydxdz?zdxdy式中?为球壳?x?a???y?b?
22???z?c??R2的外表面。
29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积
??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy化成对面积的曲面积分，其中?是
?平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧。
30．利用高斯公式计算曲面积：
1）??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中?为平面x?0，y?0，z?0，x?a，
?y?a，z?a所围成的立体的表面和外侧。
2）???x?y?dxdy??y?z?xdydz，其中?为柱面x2?y2?1与平面z?0，z?3?所围立体的外表面。
?31．计算向理?穿过曲面?流向指定侧的通量：