第十章 曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

(一)

1.计算??x?y?dx,其中L为连接?1,0?及?0,1?两点的连直线段。

L2.计算?Lx2?y2ds,其中L为圆周x2?y2?ax。

3.计算??x2?y2?ds,其中L为曲线x?a?cost?tsint?,y?a?sint?tcost?,

L?0?t?2??。

4.计算?eLx2?y2ds,其中L为圆周x2?y2?a2,直线y?x及x轴在第一

角限内所围成的扇形的整个边界。

4?4????33??5.计算??x?y?ds,其中L为内摆线x?acos3t,y?asin3t?0?t??L2????在第一象限内的一段弧。

6.计算

?Lz2ds,其中L为螺线x?acots,y?asint,22x?yz?at?0?t?2??。

7.计算?xydx,其中L为抛物线y2?x上从点A?1,?1?到点B?1,1?的一段弧。

L8.计算?x3dx?3zy2dy?x2ydz,其中L是从点A?3,2,1?到点B?0,0,0?的直线

L段AB。

9.计算?xdx?ydy??x?y?1?dz,其中L是从点?1,1,1?到点?2,3,4?的一段直

L线。

10.计算??2a?y?dx??a?y?dy,其中L为摆线x?a?t?sint?,y?a?1?cost?L的一拱(对应于由t从0变到2?的一段弧):

11.计算??x?y?dx??y?x?dy,其中L是:

L1)抛物线y2?x上从点?1,1?到点?4,2?的一段弧;

2)曲线x?2t2?t?1,y?t2?1从点?1,1?到?4,2?的一段弧。

12.把对坐标的曲线积分?P?x,y?dx?Q?x,y?dy化成对弧和的曲经积分,其

L中L为:

1)在xoy平面内沿直线从点?0,0?到?3,4?; 2)沿抛物线y?x2从点?0,0?到点?4,2?; 3)沿上半圆周x2?y??2x从点?0,0?到点?1,1?。 13.计算

??eLxsiny?mydx?excosy?mxdy其中L为x?a?t?sint?,

???y?a?1?cost?,0?t??,且t从大的方向为积分路径的方向。

14.确定?的值,使曲线积分????x4?4xy?dx?6x??1y2?5y4dy与积分路径

???无关,并求A?0,0?,B?1,2?时的积分值。

15.计算积分??2xy?x2?dx??x?y2?dy,其中L是由抛物线y?x2和y2?xL所围成区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性。

16.利用曲线积分求星形线x?acos3t,y?asin3t所围成的图形的面积。 17.证明曲线积分??3,4??1,2?6xy?2?y3dx?6x2y?3xy2dx在整个xoy平面内与路

???径无关,并计算积分值。

18.利用格林公式计算曲线积分

??xyL2cosx?2xysinx?y2exdx?x2sinx?2yexdy,其中L为正向星形

???线x?y?a232323?a?0?。

L19.利用格林公式,计算曲线积分??2x?y?4?dx??5y?3x?6?dy,其中L为三顶点分别为?0,0?、?3,0?和?3,2?的三角形正向边界。

20.验证下列P?x,y?dx?Q?x,y?dy在整个xoy平面内是某函数u?x,y?的全微分,并求这样的一个u?x,y?,?3x2y?8xy2?dx??x3?8x2y?12yey?dy。

21.计算曲面积分??x2?y2dx,其中?为抛物面z?2??x2?y2?在xoy平

???面上方的部分。

22.计算面面积分??2xy?2x2?x?zds,其中?为平面和三坐标闰面所围

???立体的整个表面。

24.求抛物面壳z?12x?y2?0?z?1?的质量,壳的度为t?z。 2??25.求平面z?x介于平面x?y?1,y?0和x?0之间部分的重心坐标。 26.当?为xoy平面内的一个闭区域时,曲面积分??R?x,y,z?dxdy与二重积

?分有什么关系?

27.计算曲面积分??zdxdy?xdydz?ydzdx其中?为柱面x2?y2?1被平面

?z?0及z?3所截的在第一卦限部分的前侧。

28.计算

2222??xdydz?ydxdz?zdxdy式中?为球壳?x?a???y?b?

22???z?c??R2的外表面。

29.反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积

??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy化成对面积的曲面积分,其中?是

?平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧。

30.利用高斯公式计算曲面积:

1)??x2dydz?y2dzdx?z2dxdy,其中?为平面x?0,y?0,z?0,x?a,

?y?a,z?a所围成的立体的表面和外侧。

2)???x?y?dxdy??y?z?xdydz,其中?为柱面x2?y2?1与平面z?0,z?3?所围立体的外表面。

?31.计算向理?穿过曲面?流向指定侧的通量:

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4