数学试题（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 答案 B
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卷上） 13.5 14.23 15.
2 C 3 A 4 B 5 D 6 D 7 B 8 B 9 C 10 C 11 D 12 D 6?21?2?3 16.
23三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分，其中第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问6分）
解：（Ⅰ）设等比数列?an?的公比为q，则a4?a1q?2?q?16，解得：q?2
33n?1a所以数列?an?的通项公式an?a1q?2
（Ⅱ）设等差数列?bn?的公差为d，依题意由：b8?a3?8,b2a?a5?32， 所以12d?b2a?b8?24，解得：d?2，又b8?b1?7d?b1?14?8，所以b1??6 所以数列?bn?的通项公式bn?b1??n?1?d?2n?8，前n项和公式Sn?18. （本小题满分12分，其中第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分） 解：（Ⅰ）依题意有：
?b1?bn?n?n2?7n
2cosBbsinB ???cosC2a?c2sinA?sinC于是：2sinAcosB?cosBsinC??sinBcosC
即：2sinAcosB???sinBcosC?cosBsinC???sin?B?C???sinA 又A??0,??,sinA?0，所以cosB??12，又B??0,??，所以B?? 232a2?c2?b2?a?c??2ac?b24?2ac1???? （Ⅱ）由余弦定理：cosB?2ac2ac2ac2解得：ac?4，又因为B?32 ?，所以sinB?23所以：S?ABC?113acsinB??4??3 22219. （本小题满分12分，其中第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分）
解：（Ⅰ）注意到：AB???1,?1?,AC??1,?1?,AB?AC?0,于是AB?AC
所以?ABC是直角三角形，于是外接圆圆心为斜边BC的中点??3,2?，半径r?所以：?ABC的外接圆E的方程为：?x?3???y?2??1
22BC2?1
（Ⅱ）点??2,?3?关于y轴对称的点?2,?3?，则反射光线经过点?2,?3? 有图象易得：反射光线斜率存在，故设反射光线所在直线方程为y?3?k?x?2? 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d??5k?543?1，解得：k??或?
34k2?120. （本小题满分12分，其中第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）
c6??e?a?3（Ⅰ）依题意有：?31，又a2?b2?c2，解得：a?6,b?2,c?2
??1??a2b2x2y2??1 所以：所求椭圆方程为62（Ⅱ）椭圆的右焦点F?2,0?，因为直线l斜率不可能为0，最可设直线l的方程为x?my?2
??x?my?222由?x2y2可得：?m?3?y?4my?2?0 ??6?2?1?4m?2设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则y1?y2?2 ,y1y2?2m?3m?3于是：y1?y2??y1?y2?2?226m2?1??4m? ?4y1y2??2???4?22m?3m?3m?3??2126m2?1所以：S??OF?y1?y2?
2m2?3令t?m?1?1，所以S?226t2626???3 t2?2t?222t当且仅当t?2即t?2即m??1时取等号 t所以：?OAB面积的最大值是3
21. （本小题满分12分，其中第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分） 解：（Ⅰ）因为bn?1?bn?2n?11??an?1?2nan?2n?1?an?1?an??3
2??所以数列?bn?是公差为3的等差数列
又因为a1?1，所以b1?2a1?2，所以数列?bn?的通项公式是bn?3n?1
b?1?（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：an?n???3n?1???
2n?2??1??1??1?于是：Sn?2????5????...??3n?4?????2??2??2?23n12n?1n?1???3n?1????
?2?n?1n1?1??1??1??1?Sn?2????5????...??3n?4??????3n?1????2?2??2??2??2?1?1?两式相减得：Sn?1??3n?1????2?2?n?1
n??1?2?1?3?1????3???????...???? ??2??2??2????n?1?1?1????1????n?1n?1n?4?2????111?1?????????1??3n?1?????3??1??3n?1?????3?????
?2?2??12?2?????1?25?1????3n?5????2?2?n?1
n?1?所以：Sn?5??3n?5????
?2?22. （本小题满分12分，其中第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问8分） 解：（Ⅰ）因为Q是线段PF1中垂线上的点，所以QP?QF2 所以：QF1?QF2?QF1?QP?PF1?26?F1F2 所以：点Q的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆
于是：2a?26,a?6,2c?F1F2?23,c?3，于是b?3
x2y2??1 所以：曲线E的方程是63（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，
取T?2,0,则A?2,2,B?2,?2,此时圆的方程是x?2取T?????????y22?2
?2,0，则A2,2,B2,?2，此时圆的方程是x?2?y2?2
???????2两圆相交于原点O?0,0?，下面证明原点O?0,0?满足题目条件，即证：OA?OB?0 当直线AB斜率不存在时，设直线方程为y?kx?m
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d?mk2?1?2，即2k2?2?m2①
??y?kx?m222由?x2y2可得：?2k?1?x?4kmx?2m?6?0 ??6?3?1?4km2m2?6,x1x2?设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则x1?x2? 222k?12k?1m2?6k2于是：y1y2??kx1?m??kx2?m??kx1x2?km?x1?x2??m?
2k2?1223m2?6k2?6所以：OA?OB?x1x2?y1y2? 22k?1将①代入可得：OA?OB?0
综上所述：以AB为直径的圆经过定点O?0,0?