x-1O12
-1Ox12
-1O12x）
例2．求函数y?x2?4x?5?x2?4x?8的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为f(x)?(x?2)2?1?(x?2)2?22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则
22EK=2?x,KF=2?x,AK=(x?2)?2, 2KC=(x?2)?1。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。 例3．求函数y?1?x?1?x的值域。
取等号。
22解析：令u?1?x，v?1?x，则u?0,v?0，u?v?2，u?v?y，原问题转化为：当22直线u?v?y与圆u?v?2在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。
由图1知：当u?v?y经过点(0,2)时，ymin?当直线与圆相切时，ymax?OD?所以，值域为2?y?2
例4. 求函数y?2； V2OC??2?2?2。 2BDCEOA 2Ux2?6x+13?x2?4x+5的值域。
(x?3)2?(0?2)2?(x?2)2?(0?1)2 解：将函数变形为y?上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(?2,1)到点P(x,0)的距离之差。即
y?AP?BP
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P?，则构成?ABP?，根据三角形两边之差小于第三边，有AP?BP?AB?即?26?y?26 （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为(?26,26]
注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A、B两点
(3?2)2?(2?1)2?26 AP?BP?AB?2在x轴的
两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 （12）复合函数法：
对函数y?f(u),u?g(x)，先求u?g(x)的值域充当y?f(u)的定义域，从而求出y?f(u)的值域的方法。
3x例1、求函数y?x 的值域
3?1（复合函数法）设3?1?t ，
x3x?1?111?t?1? ?1??1?则y?t3x?13x?11?t?1?0??1t?0?y?1
?原函数的值域为?01?
例2：求函数y?log1(?2x2?5x?3)的值域。 ?,???
?8?2（13）非负数法
根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
?49?x2?3例1、(1)求函数y?16?x的值域。 (2)求函数y?2的值域。 x?12解析：(1)?0?16?x?16， ?0?16?x2?4 故 所求函数的值域为 y??0，4?。
222(2)?x?1?0，?原函数可化为 y(x?1)?x?3，即 x(1?y)?y?3， 当y?1时，
22x2?y?3y?32?0，解得?3?y?1 ， ?x?0，?1?y1?y又 y?1， 所以 ?3?y?1，
1）故 所求函数的值域为 y?[?3，。
（不等式性质法）
例2：求下列函数的值域：
662x2?4x?10 （1）y=2； （2）y=2； （3）y=
x?22sinx?1x?2x?2 （4）y=10-16?x2； （2）y=?3()?4(x??1)； （3）y=log2(x?)(x?
12x2141) 2
（14）导数法
若函数f在(a,b)内可导, 可以利用导数求得f在(a,b)内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值. 从而求得f的值域.
例1： 求函数f(x)?x3?3x在(?5,1)内的值域.
分析:显然f在(?5,3)可导，且f?(x)?3x2?3. 由f?(x)?0得f的极值点为x?1,x??1.
f(?1)?2,f(1?0)??2. f(?5?0)?140.
所以, 函数f的值域为(?2,140).
（15）“平方开方法”
求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.
1.适合函数特征
设f(x)（x?D）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征： （1）f(x)的值总是非负，即对于任意的x?D，f(x)?0恒成立；
（2）f(x)具有两个函数加和的形式，即f(x)?f1(x)?f2(x)（x?D）； （3）f(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即
， f2(x)?[f1(x)?f2(x)]2?c?g(x)（x?D，c为常数）
其中，新函数g(x)（x?D）的值域比较容易求得.
2.运算步骤
若函数f(x)（x?D）具备了上述的三个特征，则可以将f(x)先平方、再开方，从而得到
f(x)?c?g(x)（x?D，c为常数）.然后，利用g(x)的值域便可轻易地求出f(x)的值域.例如g(x)?[u,v]，则显然f(x)?[c?u,c?v].
3.应用四例
能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.
例1 求函数f(x)?b?x?x?a（x?[a,b]，a?b）的值域.
解：首先，当x?[a,b]时，f(x)?0；
其次，f(x)是函数f1(x)?b?x与f2(x)?x?a的和；
最后，f2(x)?b?a?2(b?x)(x?a)?b?a?2?x2?(a?b)x?ab 可见，函数f(x)满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方得f(x)?b?a?2?x2?(a?b)x?ab（x?[a,b]）.这里，g(x)?2?x2?(a?b)x?ab（x?[a,b]）.对g(x)
b?a].于是，f(x)的值域为根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域为[0,[b?a,2(b?a)].
ab例2 求函数f(x)?b?kx?kx?a（x?[,]，a?b，k?0）的值域.
kk解：显然，该题就是例1的推广，且此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)ab平方、开方得f(x)?b?a?2?k2x2?k(a?b)x?ab（x?[,]）.这里，g(x)?2?k2x2?k(a?b)x?abkkab（x?[,]）.对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域仍为[0,b?a].于是，f(x)kk的值域也仍为[b?a,2(b?a)].
例3 求函数f(x)?|sinx|?|cosx|（x?R）的值域.
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方得f(x)?1?|sin2x|（x?R）.这里，g(x)?|sin2x|（x?R）.易知，g(x)的值域为[0,1].于是，f(x)的值域为[1,2].
例4 求函数f(x)?sinx?cosx?sinx?cosx（x?R）的值域.
解：参照例1的验证步骤，显然，此题的f(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方得f(x)?2?2|cos2x|（x?R）.这里，g(x)?2|cos2x|（x?R）.易知，g(x)的值域为[0,2].于是，f(x)的值域为[2,2]. 例5 求函数y?x?3?5?x 的值域
解：（平方法）函数定义域为：x??3,5?
y2?(x?3)?(5?x)?2?x2?8x?15
由x??3,5?,得?x2?8x?15??0,1??y??2,4?2
?原函数值域为2,2??平方法）函数定义域为：x??3,5?
y2?(x?3)?(5?x)?2?x2?8x?15
由x??3,5?,得?x2?8x?15??0,1??y??2,4?2
?原函数值域为2,2（16）一一映射法
??原理：因为y?ax?b(c?0)在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范
cx?d
围，就可以求另一个变量范围。
例1. 求函数y?1?3x的值域。
2x?111?
解：∵定义域为?x|x??或x????22??由y?1?3x得x?2x?11?y 2y?3故x?1?y1?y11??或x??? 2y?322y?32解得y??3或y??3
223??3?故函数的值域为????,?????,???
2??2??（17）其他方法
其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。
例1. 求函数y?x?2的值域。 x?3解：令t?x?2(t?0)，则x?3?t2?1
t11??1 2t=1（1）当t?0，当且仅当，即时取等号，所以10?y?x??12t?1t?2t（2）当t=0时，y=0。
y?时，
1综上所述，函数的值域为：?0,?
?2???注：先换元，后用不等式法
2341?x?2x?x?x例2. 求函数y?的值域。
241?2x?x24?1?x2x?x3解：y?1?2x?x???2424?1?x21?2x?x1?2x?x??x
???1?x2?22???1?x令x?tan，则???cos2? ?1?x2?2??2x1?sin? 221?x