111?17??y?cos??sin???sin2??sin??1???sin????
4?1622?22∴当sin??1时，y4max?17
16当sin???1时，ymin??2
17此时tan?都存在，故函数的值域为??2,? ?16?2??注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin?的有界性。 例3.求函数 y?2x(x?0) 的值域 解：（图象法）如图，值域为?0,1?
例4.求函数y????1??3??x2?2x 的值域
t?1?22解（复合函数法）：令t??x?2x??(x?1)?1，则y???(t?1)
?3?由指数函数的单调性知，原函数的值域为?,??? 例5.求函数y?x?1?x2的值域 解（三角代换法）： ??1?3???1?x?1 ?设x?cos????0,??
y?cos??sin??cos??sin??2sin(??)??1,24
?原函数的值域为?1,2?????小结：
（1）若题目中含有a?1，则可设
a?sin?,??2????22(或设a?cos?,0????)
2（2）若题目中含有a?b?1 则可设a?cos?,b?sin?，其中0???2?
（3）若题目中含有1?x2，则可设x?cos?，其中0???? （4）若题目中含有1?x2，则可设x?tan?，其中??2????2
（5）若题目中含有x?y?r(x?0,y?0,r?0)，则可设x?rcos2?,y?rsin2?。其中 ???0,????? 2?x2?1例6、求函数y?2 的值域
x?1解法一：（逆求法）?x?2 1?y?01?y??1?y?1
?原函数的值域为??11? 解法二：（复合函数法）设x?1?t ， 则 y?1?222?1?(t?1)
tx2?12?2??1?y?1 t??1,1??原函数值域为?t?1?0?解法三：（判别式法）原函数可化为 (y?1)x2?0?x?y?1?0 1） y?1时 不成立 2） y?1时，??0?0?4(y?1)(y?1)?0??1?y?1
??1?y?1
综合1）、2）值域{y|?1?y?1}
解法四：（三角代换法）?x?R?????设x?tan?????,?，则
?22?1?tan2?y????cos2??2?????,???cos2????1,1? 21?tan? ?原函数的值域为{y|?1?y?1}
小结：
ax2?bx?c已知分式函数y?(a2?d2?0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；2dx?ex?f如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为y?
二次式一次式(或y?)一次式二次式
的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y?x?a(x?0)的单调性去解。 x注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin?的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 五、与函数值域有关的综合题
例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求λ∈［,23］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 34解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2, 则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160, 将x=
2210?5代入上式得 S=5000+4410 (8?+
5?),
8cm当8?=
?,即λ=(<1)时S取得最小值
5588此时高 x=
4840?5=88 cm, 宽 λx=×88=55 cm
85cm[来源学科网][来源:Zxxk.Com]5cm
8cm2323如果λ∈［,］，可设≤λ1<λ2≤, 3434则由S的表达式得 [来源学科网Z,X,X,K] S(?1)?S(?2)?4410(8?1??4410(?1??2)(8?55?1)?8?2?5?2)
?1?2又?1?2≥
525>0, ?,故8－
38?1?2
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［,从而对于λ∈［,23］内单调递增 34232］,当λ=时，S(λ)取得最小值
334232］,当λ=时，所用纸
334答 画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［,张面积最小
x2?2x?a例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞)
x1(1)当a=时，求函数f(x)的最小值
2(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围
11时，f(x)=x++2 22x∵f(x)在区间［1，+∞)上为增函数，
解 (1) 当a=
[来源学科网]∴f(x)在区间［1，+∞)上的最小值为f(1)=(2)解法一 在区间［1，+∞)上，
7 2x2?2x?af(x)= >0恒成立?x2+2x+a>0恒成立
x设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞)[来源学科网ZXXK]
[来源学科网]∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立， 故a>－3 解法二 f(x)=x+
a+2,x∈［1,+∞) x当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
[来源:Z#xx#k.Com]
例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+
1) m?1(1)证明 当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值
(3)求证 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1 (1)证明 先将f(x)变形 f(x)=log3［(x－2m)2+m+当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+故f(x)的定义域为R
反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+4(4m2+m+
1］, m?11>0恒成立， m?11>0,令Δ＜0,即16m2－m?11)＜0,解得m>1,故m∈M m?11(2)解 设u=x2－4mx+4m2+m+,
m?1∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小 而u=(x－2m)2+m+
1, m?11, m?1显然，当x=m时，u取最小值为m+此时f(2m)=log3(m+
1)为最小值 m?111(3)证明 当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,
m?1m?1当且仅当m=2时等号成立 ∴log3(m+
1)≥log33=1 m?1