专题25 全等三角形的存在性
破解策略
全等三角形的存在性问题的解题策略有：
（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或 列方程来求解．
（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等． 例题讲解
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例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B． （1）求抛物线的表达式；
（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
?4a?2b?4?0? 解：（1）由题意可列方程组 ?b?3???2a1?a????4 ， 解得??b?3?2? ，
1
所以抛物线的表达式为y??14x2?32x?4．
?OB2 （2）显然OA＝2， OB＝3， OC＝4． 所以BC?OC2?5?BA．
若△P BD≌△PBC，则BD＝ BC＝5，PD＝PC
所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上， ①若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重合．
如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2．y2）两点． 此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2 BD．
由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（－1，2）． 所以直线BE的表达式为y??12x?32．
?x?4?262?，??1?26?y2?2?13?y??x???22 联立方程组??y??1x2?3x?4?42??x?4?261?，解得??1?26?y1?2? ．
所以点P1，P2的坐标分别为（4一26，?1?226）．（4＋26，?1?226）．
②若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0）．
如图2，取CD的中点F．作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，，y4）两点． 此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4 BD．
由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2）， 所以直线BF的表达式为y＝2x－6．
?y?2x?6?联立方程组?123y??x?x?4?42???x??1?41，解得?3??y3??8?24141??x??1?41，?4??y4??8?24141 所以点P3，P4的坐标分别为（－1＋，－8＋226），（ －1－26241，－8－2，?1?241），
综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一（－1＋41，?1?），（4＋2626），
，－8＋241）或（－1－41，－8－241）．
（3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m＞0，
2222220
则AM＝4＋m，MN＝9＋（m－n），BN＝n． 而∠AMN＝∠ABN＝90， 所以△AMN与△ABN全等有两种可能： ①当AM＝AB，MN＝BN时，
2??4?m?25可列方程组?22??9?(m?n)?n?m?211?，解得?521?n1?7??m??212?；?521?n2??7?（舍），
所以此时点M的坐标为（0，②当AM＝NB，MN＝BA21）．
·
22??4?m?n时，可列方程组：?2??9?(m?n)?25 2
3?m?1??2解得??n??51?2?3?m??2??2，??n?52?2?（舍）
所以此时点M的坐标为（0，
32）．
21综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，）或（0，
32）．
0
例2 如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABO为等腰直角三角形，∠ABO＝ 90，点A的坐
标为（4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．
432232
图1 图2 解： 由题意可得OA＝4，从而OB＝AB＝22．所以OD＝
23OB＝，BD＝OB＝31．
①当点F在OA上时，
（ⅰ）若△DFO≌△DFE，点E在OA上．如图1． 此时DF⊥OA，所以OF＝22OD＝
43，所以OE＝2OF＝，即点E的坐标为（，0）．
3388（ⅱ）若△DFO≌△DFE，点F在AB上，如图2． 此时ED＝OD＝2BD，所以sin∠BED＝从而BE＝3BDED＝
12；所以∠BED＝30，
0
BD＝236，AE＝62?236．
过点E作EG⊥OA于点G．则EG＝AG＝所以OG＝2
?23322AE＝2??23323?3，
33，即点E的坐标为（2，22）．
图3 图4
（ⅲ）若△DFO≌△FDE，点E在AB上，如图3．
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