第二节 化二次型为标准形
若二次型f(x1,x2,?,xn)经可逆线性变换化为只含平方项的形式
22b1y12?b2y2???bnyn,
则称之为二次型f(x1,x2,?,xn)的标准形.
由上节讨论知,二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX在线性变换X?CY下,可化为
YT(CTAC)Y. 如果CTAC为对角矩阵
?b1???b2? B???????bn??22则f(x1,x2,?,xn)就可化为标准形b1y12?b2y2???bnyn,其标准形中的系数恰好为对角阵B的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A能否合同于一个对角矩阵.
内容分布图示
★ 二次型的标准性
★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 用初等变换化二次型为标准形
★ 例5
★ 定理3 ?4 ★ 用正交变换化二次型为标准形
★ 例7
★ 二次型与对称矩阵的规范形
★ 例9
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回
★ 例4 ★ 例6 ★ 例8 ★ 例10
内容要点：
一、用配方法化二次型为标准形.
定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:
(1) 若二次型含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;
(2) 若二次型中不含有平方项, 但是aij?0(i?j),则先作可逆变换
?xi?yi?yj?(k?1,2,?,n且k?i,j) ?xj?yi?yj??xk?yk化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.
注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A的特征值无关. 因为二次型f与它的对称矩阵A有一一对应的关系，由定理1即得:
定理2 对任一实对称矩阵A，存在非奇异矩阵C，使B?CTAC为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
二、用初等变换化二次为标准型
设有可逆线性变换为X?CY，它把二次型XTAX化为标准型YTBY，则 CTAC?B. 已
知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵P1,P2,?,Ps，使 C?P1P2?Ps, 于是
C?EP1P2?Ps
TCTAC?PsT?P2TP1AP1P2?Ps??.
?A?由此可见, 对2n?n矩阵?1P2?Ps的初等列变换, 再对A施以相应于左?E??施以相应于右乘P??TTT乘P1,P2,?,Ps的初等行变换, 则矩阵A变为对角矩阵B, 而单位矩阵E就变为所要求的可逆矩阵C.
三、用正交变换化二次型为标准形
定理2 若A为对称矩阵，C为任一可逆矩阵,令B?CTAC,,则B也为对称矩阵,且r(B)?r(A).
注: (1) 二次型经可逆变换X?CY后,其秩不变,但f的矩阵由A变为B?CTAC; (2) 要使二次型f经可逆变换X?CY变成标准形,即要使CTAC成为对角矩阵, 即
?b1??y1?????b???y2?2222YTCTACY?(y1,y2,?,yn)??b1y1?b2y2???bnyn. ????????????bn????yn?定理3 任给二次型f??aijxixj(aji?aij), 总有正交变换X?PY, 使f化为标准形
i,j?1n22f??1y12??2y2????nyn,
其中?1,?2,?,?n是f的矩阵A?(aij)的特征值.
用正交变换化二次型为标准形
(1) 将二次型表成矩阵形式f?XTAX, 求出A;
(2) 求出A的所有特征值 ?1,?2,?,?n; (3) 求出对应于特征值的特征向量 ?1,?2,?,?n;
(4) 将特征向量?1,?2,?,?n正交化, 单位化, 得?1,?2,?,?n, 记C?(?1,?2,?,?n); (5) 作正交变换X?CY,则得f的标准形
22f??1y12??2y2????nyn.
四、二次型与对称矩阵的规范型
将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为
22d1x12???dpx2(1) p?dp?1xp?1???drxr其中di?0(i?1,2,?,r).
定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.
注: 把规范形中的正项个数p称为二次型的正惯性指数,负项个数r?p称为二次型的负惯性指数, r是二次型的秩.
00??Ep??注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形?0?Er?p0?
?000???定理5 设A为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵C,Q，且C?Q,使得
?Ep?TCAC??0?0?0?Er?p00??Ep??T0?，QAQ??0?00???0?Er?q00??0? 0??则 p?q.
注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。
例题选讲:
222例1(讲义例1) 将x1化为标准形. ?2x1x2?2x1x3?2x2?4x2x3?x3用配方法化二次型为标准形.
22例2 化二次型f?x12?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形, 并求所用的变换矩阵.
例3 (讲义例2) 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3成标准形, 并求所用的变换矩阵. 例4 用配方法将以下二次型化为标准型.
f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?x1x3?x1x4?x2x3?x2x4?2x3x4.
用初等变换化二次为标准型
?111???例5(讲义例3) 设A??122?,求非奇异矩阵C, 使CTAC为对角矩阵.
?121???例6 求一可逆线性变换将2x1x2?2x1x3?4x2x3化为标准形.
用正交变换化二次型为标准形
22例7 (讲义例4) 将二次型f?17x12?14x2?14x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3通过正交变换x?Py, 化成标准形.
例8 设f?2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4, 求一个正交变换x?Py, 把该二次型化为标准形.
二次型与对称矩阵的规范型
1222例9 将标准型2y1规范化. ?2y2?y32例10 (讲义例5) 化二次型f?2x1x2?2x1x3?6x2x3为规范形, 并求其正惯性指数.
课堂练习
1. 求一正交变换,将二次型
22f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?3x3?2x1x2?6x1x3?6x2x3 化为标准形, 并指出f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.