计数原理排列与组合二项式定理

计数原理、排列与组合、二项式定理

知识要点

一、计数原理 1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。 2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的办法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。 3.两个原理的关系

两个原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算完成这件事。 二、排列、组合 1.公式和性质

?1?Amn?n?n?1??n?2???n?m?1??m?n??2?Amn?n!(n-m)!?3?Ann?n!?n?n?1??n?2??2?1?4? nn!??n?1?!?n!?5?Amm-1n?nAn-1?6?CmAmnn?n?1??n?2???n?m?1?n?Am?mm!?n!m!(n-m)!?7?Cmn?Cn?mn?8?Cmmm?1n?1?Cn?Cn?9?Cmmmmm?1m?Cm?1?Cm?2??Cn?Cn?1?10?kCkn?nCk?1n?1?11?C12?3C3nn?2Cnn???nCn?n2n?1

三、二项式定理

1. 二项式定理 (a+b)n=C0nan?C1an?1b?C2n?22nnab??

+

Crn?rr??Cnnnab?nb

通项公式:T? Crnan?rbr 2.二项式系数的性质

(1)在二项式展开式中,与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等;

(2)若二项式的幂指数是偶数,中间的一项的二项式系数最大,若是奇数则中间的两项系数最大; (3)二项式系数的和等于2n

,即

C012nnn?Cn?Cn???Cn?2

3. 注意:二项式系数和展开式的系数的区别

规律方法指津

1.排列、组合应用题大致可分为三类:

(1)不带限制条件的简单排列或组合题,可直接根据题意利用公式求得最后结果.

(2)带有限制条件的排列或组合题,常有两种计算方法,一是把符合要求的排列或组合数直接计算出来;二是先算出不含限制条件的所有排列和组合的总数,然后再从中减去所有不符合要求的排列和组合数.

(3)排列、组合混合综合题,一般采取先组合后排列的方法,要分类清楚准确、独立,分步有条不紊、连续.

2.排列组合应用题,常用的基本类型有以下几种: 从n个不同元素中

(1)选出m个(m?n)个元素,排成一列,所有不同的排法共有

Am

n种.

(2)选出m个元素,且有k(?m)个元素必须入选,把这

m

个元素排成一列,排法共有

Cm?kAmn?km种(先选后排)

(3)将n个元素排成一列,且其中某k个元素排在相邻位置上,排法共有An-k?1kn-k?1Ak种(捆绑法)

(4)将n个元素排成一列,且其中某k个元素不能排在相邻位置上,排法共有

An-kAkn-kn-k?1种(插空法)

1页

(5)将n个元素排成一列,且其中某k个元素不全相邻,排法共有

AnAn-kkn?n-kAn-k?1种(间接法)

(6)将n个元素排成一列,且其中某k个元素保持一n定的顺序,排放法共有

AnAk种(消序法)

k3.在解排列组合综合题时,常见的解题策略有以下几种:

(1)特殊元素优先安排的策略. (2)合理分类与准确分步的策略. (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略. (5)相邻问题捆绑处理的策略. (6)不相邻问题插空处理的策略. (7)定序问题除法处理的策略. (8)分排问题直排处理的策略

(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略

4.在解决排列组合应用题时,经常运用的数学思想:分类讨论的思想;转化的思想;对称思想

典型例题分析

1)

对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排,在操作时,针对实际问题,有时“元素优先”有时“位置优先”。

[例1] 由0,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数中,其中偶数共有几个?

2)对于不同的元素放入几个不同的盒内,当有的盒内有不少于2个元素时,不可分批进入,必须先分堆再排入。 [例2] 4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒内,则恰有一个空盒的放法有几种?

3) 对于某些元素要求相邻排列的问题,可先将相邻元素

捆绑并看作1个元素再与其他元素进行排列,同时对相邻元素进行自排。

[例3] 5个男生3个女生排成一列,要求女生排一起,

共有几排法? 2页

4) 对于某些元素要求间隔的排列,用插入法。 [例4] 5个男生3个女生排成一列,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法?

思考 4男4女排成一列,要求男女间隔,有几种排法?

( )

[例5] 10垄地选2垄种A,B两种作物,且A,B至少间隔6垄,有几种方法?

5) 对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,再

除以定序元素的全排,或先在总位置中先出定序元素的位置而不参加排列,然后对其它元素进行排列。 [例6] 5人参加百米赛跑,若无同时到达终点的情况,则甲比乙先到有几种情况?

6) 若n个元素要分m排列,可把每排首尾相连成一列,

对于每排的特殊要求,只要分段考虑特殊元素,然后对其余元素作统一排列。

[例7] 2个老师、4个女生、12个男生,排成三排照相,要求第一排5人,第二排6人,第三排7人,且老师在第一排,女生在第二排,共有几种不同的排法?

7) 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”

时,可先按制约条件“组团”并视为一个元素与其他元素排列。

[例8] 4名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会,演出的顺序要求2名女歌手之间恰有2名男歌手,则出场方案有几种?

8) 住店法

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”。

[例9] 七名学生争夺五项冠军,获得冠军的可能的和数有……

9) 两类元素的排列问题

[例10] 10级楼梯,要求7步跨完,且每步最多跨2级,问有几种不同的跨法?

思考1: 3面红旗2面黄旗,全都升上旗杆作信号,可打出几种不同的信号?( 种)

思考2: 沿图中的网格线从顶点A到顶点B,最短的路线有几条?( 条)

B A [说明] 怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是

关键

10)

排列、组合与解析、立几的综合

[例11] (2003年春季高考题·北京卷)

在直角坐标系xOy中,已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数是( )

A. 95 B. 91 C. 88 D. 75 11)

试验(树枝法)

题中附加条件增多,直接解决困难时,用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方法。

[例12] 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内,每个方格填1个,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有……

12)

对应

[例13] 在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即每一场比赛失败要退出比赛),最后产生一名冠军,问要举行几场?

13)特征分析

研究有约束条件的排数问题,须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征,进行推理、分析求解

[例14] 由1、2、3、4、5、6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数。

14)

分组问题与分配问题

(1)分组问题的常见形式及处理方法

a) 非均匀无序分组 n个不同元素分成m组,每组元素数目均不相同,且不考虑各组间的顺序.

例如:10人分成三组,每组人数分别为2、3、5,其分法种数为

C2C3C51085

种 。 3页

b) 均匀无序分组 将n个不同元素分成不编号的m组,假定m组元素个数相等,不管是否分尽.

例如:若6人分成三组每组2人则其分法种数为

C2C22364C2/A3;10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,

其分法种数为

C244210C8C4/A2 种.(部分均匀)

c)

非均匀有序分组 n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序.

例如:10人分成三组,去参加不同的劳动,各组人数分别为2、3、5,其安排方法有

C2C353108C5A3 种。

d)

均匀有序分组n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序.

例如9人分成三组,参加三种不同的劳动,各组人数分别为3、3、3,分法种数为C3339C6C3种。

(2)分配问题的处理途径

将n个元素按一定要求分给m个人,称为分配问题,分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的;而后者即使两个元素个数相同,但因人不同,仍然是可区分的。对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则。

[例15] 六本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法?

(1) 一堆一本,一堆两本,一堆三本; (2) 甲得一本,乙得两本,丙得三本; (3) 一人得一本,一人得二本,一人得三本; (4) 平均分给甲、乙、丙三人,每人两本; (5) 平均分成三堆,每堆两本。 15)

“隔板法”常用于指标问题和不定方程整数解的个数问题

[例16] 从5个班中选10人组成校入篮球队,每班至少1人,有几种选法? 16)

涂色问题

[例17] 一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种。(以数字作答)

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