计数原理、排列与组合、二项式定理
知识要点
一、计数原理 1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m+n种不同的方法。 2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的办法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法。 3．两个原理的关系
两个原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题。区别在于分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事。 二、排列、组合 1．公式和性质
?1?Amn?n?n?1??n?2???n?m?1??m?n??2?Amn?n!(n-m)!?3?Ann?n!?n?n?1??n?2??2?1?4? nn!??n?1?!?n!?5?Amm-1n?nAn-1?6?CmAmnn?n?1??n?2???n?m?1?n?Am?mm!?n!m!(n-m)!?7?Cmn?Cn?mn?8?Cmmm?1n?1?Cn?Cn?9?Cmmmmm?1m?Cm?1?Cm?2??Cn?Cn?1?10?kCkn?nCk?1n?1?11?C12?3C3nn?2Cnn???nCn?n2n?1
三、二项式定理
1. 二项式定理 （a+b）n=C0nan?C1an?1b?C2n?22nnab??
+
Crn?rr??Cnnnab?nb
通项公式：T? Crnan?rbr 2.二项式系数的性质
（1）在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等；
（2）若二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大，若是奇数则中间的两项系数最大； （3）二项式系数的和等于2n
，即
C012nnn?Cn?Cn???Cn?2
3. 注意：二项式系数和展开式的系数的区别
规律方法指津
1.排列、组合应用题大致可分为三类:
(1)不带限制条件的简单排列或组合题,可直接根据题意利用公式求得最后结果.
(2)带有限制条件的排列或组合题,常有两种计算方法,一是把符合要求的排列或组合数直接计算出来;二是先算出不含限制条件的所有排列和组合的总数,然后再从中减去所有不符合要求的排列和组合数.
(3)排列、组合混合综合题,一般采取先组合后排列的方法,要分类清楚准确、独立,分步有条不紊、连续.
2.排列组合应用题,常用的基本类型有以下几种: 从n个不同元素中
（1）选出m个（m?n）个元素，排成一列，所有不同的排法共有
Am
n种.
(2)选出m个元素,且有k（?m）个元素必须入选，把这
m
个元素排成一列，排法共有
Cm?kAmn?km种（先选后排)
（3）将n个元素排成一列，且其中某k个元素排在相邻位置上，排法共有An-k?1kn-k?1Ak种（捆绑法）
（4）将n个元素排成一列，且其中某k个元素不能排在相邻位置上，排法共有
An-kAkn-kn-k?1种（插空法）
1页
（5）将n个元素排成一列，且其中某k个元素不全相邻，排法共有
AnAn-kkn?n-kAn-k?1种（间接法）
（6）将n个元素排成一列，且其中某k个元素保持一n定的顺序，排放法共有
AnAk种（消序法）
k3.在解排列组合综合题时,常见的解题策略有以下几种:
(1)特殊元素优先安排的策略. (2)合理分类与准确分步的策略. (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略. (5)相邻问题捆绑处理的策略. (6)不相邻问题插空处理的策略. (7)定序问题除法处理的策略. (8)分排问题直排处理的策略
(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略
4.在解决排列组合应用题时,经常运用的数学思想:分类讨论的思想;转化的思想;对称思想
典型例题分析
1)
对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排，在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”有时“位置优先”。
[例1] 由0，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数中，其中偶数共有几个？
2）对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不少于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。 [例2] 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？
3） 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素
捆绑并看作1个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。
[例3] 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，
共有几排法？ 2页
4） 对于某些元素要求间隔的排列，用插入法。 [例4] 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
思考 4男4女排成一列，要求男女间隔，有几种排法？
（ ）
[例5] 10垄地选2垄种A，B两种作物，且A，B至少间隔6垄，有几种方法？
5） 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再
除以定序元素的全排，或先在总位置中先出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 [例6] 5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
6） 若n个元素要分m排列，可把每排首尾相连成一列，
对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列。
[例7] 2个老师、4个女生、12个男生，排成三排照相，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女生在第二排，共有几种不同的排法？
7） 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”
时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素与其他元素排列。
[例8] 4名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的顺序要求2名女歌手之间恰有2名男歌手，则出场方案有几种？
8） 住店法
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“住店法”。
[例9] 七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能的和数有……
9） 两类元素的排列问题
[例10] 10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，问有几种不同的跨法？
思考1: 3面红旗2面黄旗，全都升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？（ 种）
思考2: 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？（ 条）
B A [说明] 怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是
关键
10）
排列、组合与解析、立几的综合
[例11] （2003年春季高考题·北京卷）
在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A. 95 B. 91 C. 88 D. 75 11）
试验（树枝法）
题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律有时也是行之有效的方法。
[例12] 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有……
12）
对应
[例13] 在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即每一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？
13）特征分析
研究有约束条件的排数问题，须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解
[例14] 由1、2、3、4、5、6六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数。
14）
分组问题与分配问题
（1）分组问题的常见形式及处理方法
a) 非均匀无序分组 n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序.
例如：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为
C2C3C51085
种 。 3页
b) 均匀无序分组 将n个不同元素分成不编号的m组，假定m组元素个数相等，不管是否分尽.
例如：若6人分成三组每组2人则其分法种数为
C2C22364C2/A3;10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，
其分法种数为
C244210C8C4/A2 种.(部分均匀)
c)
非均匀有序分组 n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序.
例如：10人分成三组，去参加不同的劳动，各组人数分别为2、3、5，其安排方法有
C2C353108C5A3 种。
d)
均匀有序分组n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序.
例如9人分成三组，参加三种不同的劳动，各组人数分别为3、3、3，分法种数为C3339C6C3种。
（2）分配问题的处理途径
将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题，分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的。对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则。
[例15] 六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1) 一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2) 甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3) 一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4) 平均分给甲、乙、丙三人，每人两本； (5) 平均分成三堆，每堆两本。 15）
“隔板法”常用于指标问题和不定方程整数解的个数问题
[例16] 从5个班中选10人组成校入篮球队，每班至少1人，有几种选法？ 16）
涂色问题
[例17] 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种。（以数字作答）