第二章 函数与导数第4课时
函数的奇偶性及周期性
1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a，a2－3)，则a＝________． 答案：3
解析：(－2a)＋(a2－3)＝0，且－2a＜0.
?1??＝_________． 2. 已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝lgx，则f?f??100??
答案：－lg2
1?1?f?1??＝f(－2)＝－f(2)＝－lg2. 解析：因为f?＝lg＝－2，所以f?100???100??100
x
3. 若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝________．
（2x＋1）（x－a）
1答案： 2
1
解析：由f(－x)＝－f(x)恒成立可得a＝.
2
4. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，若f(1.5)＝1，则f(2 014.5)＝________． 答案：－1 解析：由f(x＋1)＝－f(x)，知f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(2 014.5)＝f(0.5)＝f(－1.5)＝－f(1.5)＝－1.
?ax＋1，－1≤x<0，5. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝?bx＋2
，0≤x≤1，??x＋1
1??3?其中a、b∈R.若f??2?＝f?2?，则a＋3b＝________．
答案：－10
1??3??1?＝f?3－2?＝f?－1?，根据f(x)解析：因为f?＝f，函数f(x)的周期为2，所以f?2??2??2??2??2?
ax＋1，－1≤x<0，??b＋2＝?bx＋2得到3a＋2b＝－2.又f(1)＝f(－1)，得到－a＋1＝，即2a＋b＝0，
2，0≤x≤1，??x＋1
结合上面的式子解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝－10.
6. 已知奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的增函数，若f(a－2)＋f(a2－4)<0，则a的取值范围是________．
答案：(3，2)
解析：由已知得f(a－2)<－f(a2－4)，因f(x)是奇函数，故 －f(a2－4)＝f(4－a2)，于是f(a－2) 又f(x)是定义在(－1，1)上的增函数，从而 2 ?a－2<4－a，?－3 ? ? ?－1 3 ?1 ??－5 πππ 7. 已知函数f(x)＝x2－cosx，x∈?－，?，则满足f(x0)>f??时x0的取值范围是 ?22??3? _________． ππππ 答案：?－，－?∪?，? 3??32??2 π 解析：f(x)在区间上是偶函数，且在?0，?上是单调递增函数，所以?2??π ?? |x0|> π ，3 π －≤x0≤，22 ππππ 即x0的取值范围是?－，－?∪?，?. 3??32??22 （x＋1）＋sinx 8. 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝_________． x2＋1 答案：2 2x＋sinx2x＋sinx 解析：f(x)＝1＋2，令g(x)＝2，则g(x)是奇函数，图象关于原点对称， x＋1x＋1 由于f(x)的图象是由g(x)的图象向上平移1个单位而得，所以f(x)的图象关于(0，1)对称，所以M＋m＝2. －2x＋a 9. 设f(x)＝x＋1(a、b为实常数)． 2＋b (1) 证明：当a＝b＝1时，f(x)不是奇函数； (2) 设f(x)是奇函数，求a与b的值． 1－＋1x 2－2＋1－2＋111 (1) 证明：f(x)＝x＋1，f(1)＝2＝－，f(－1)＝＝，所以f(－1)≠－f(1)， 5242＋12＋1 f(x)不是奇函数． － －2x＋a－2x＋a (2) 解：f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)，即－x＋1＝－x＋1对任意实数x成立．化 2＋b2＋b ??2a－b＝0，2xx 简整理得(2a－b)·2＋(2ab－4)·2＋(2a－b)＝0，这是关于x的恒等式，所以?所 ?2ab－4＝0，? ??a＝－1，??a＝1，以?或? ??b＝－2，b＝2.?? － 10. 设函数f(x)＝ax－(k－1)ax(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数． (1) 求k的值； (2) 若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0对任意实数x恒成立的t的取值范围． 解：(1) ∵ f(x)是定义在R上的奇函数， ∴ f(0)＝0，∴ 1－(k－1)＝0，∴ k＝2. － (2) f(x)＝ax－ax(a>0且a≠1)， 1 由于f(1)<0，∴ a－<0，∴ 0 a ∴ f(x)在R上是减函数．不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0等价于f(x2＋tx) 11. 设y＝f(x)是定义在R上的奇函数， 且当x≥0时， f(x)＝2x－x2. (1) 求当x<0时，f(x)的解析式； 11? (2) 请问是否存在这样的正数a、b，当x∈[a，b]时，g(x)＝f(x)，且g(x)的值域为??b，a?？ 若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由． 解：(1) 当x<0时，－x>0，于是f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－x2)＝2x＋x2，即f(x)＝2x＋x2(x<0)． 1 (2) 假设存在，则由题意知g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，x∈[a，b]，a>0, 所以≤1，a a ≥1, 从而函数g(x)在[a，b]上单调递减． ?2a－a＝a，1 于是?所以a、b是方程2x－x＝的两个不等正根，方程变形为x－2x＋ x1 ?2b－b＝b，2 2 3 2 2 1 1±51＝0，即(x－1)(x2－x－1)＝0，方程的根为x＝1或x＝. 2 1＋5因为0 2