高中数学典型例题分析 第十章 导数及其应用
§10.1导数及其运算 一、知识导学
1.瞬时变化率：设函数y?f(x)在x0附近有定义，当自变量在x?x0附近改变量为?x时，函数值相应地改变?y?f(x0??x)?f(x)，如果当?x趋近于0时，平均变化率
?yf(x0??x)?f(x0)?趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝?x?x对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率。
2.导数：当?x趋近于零时，
f(x0??x)?f(x0)趋近于常数c。可用符号“?”记
?x作：当?x?0时，
f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?c或记作lim?c，符号
?x?0?x?x“?”读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作f(x)在x?x0处的导数，并记作f?(x0)。
3.导函数：如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导。这样，对开区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f?(x)。于是，在区间(a,b)内，f?(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y?f(x)的导函数。记为f?(x)或。 y?（或y?x）
4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)?g(x))??f?(x)?g?(x)即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。
2）函数积的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则
[f(x)g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)g?(x)即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数
乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3）函数的商的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，g(x)?0，则
??f(x)?g(x)f?(x)?f(x)g?(x)? ?g(x)?2g(x)???5.复合函数的导数:设函数u??(x)在点x处有导数u?x??(x),函数y?f(u)在点??f?(u),则复合函数y?f[?(x)]在点x处有导数,且x的对应点u处有导数yu??y?x?yu?ux.
6.几种常见函数的导数：
??nx（x）(1)C??0(C为常数) (2)
nn?1(n?Q)
(3)(sinx)??cosx (4)(cosx)???sinx (5)(lnx)??x11 (6)(logax)??logae xxxxx(7)(e)??e (8)(a)??alna 二、疑难知识导析
1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
??2.运用复合函数的求导法则y?x?yu?ux,应注意以下几点
（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导. (2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如(cos2x)???sin2x实际上应是?2sin2x。
(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如
y?114u?v,v?1?w,w?3x计算起来就复杂了。 选成，y?4(1?3x)u3.导数的几何意义与物理意义
导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时
速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。
4.f?(x0)与f?(x)的关系
f?(x0)表示f(x)在x?x0处的导数，即f?(x0)是函数在某一点的导数；f?(x)表示函
数f(x)在某给定区间(a,b)内的导函数，此时f?(x)是在(a,b)上x的函数，即f?(x)是在
(a,b)内任一点的导数。
5.导数与连续的关系
若函数y?f(x)在x0处可导，则此函数在点x0处连续，但逆命题不成立，即函数
y?f(x)在点x0处连续，未必在x0点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必
要条件，而不是充分条件。
6.可以利用导数求曲线的切线方程
由于函数y?f(x)在x?x0处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因
此，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得：
（1）求出函数y?f(x)在点x?x0处的导数，即曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y?y0?f?(x0)(x?x0)，如果曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x?x0.
三、经典例题导讲
[例1]已知y?(1?cos2x),则y?? . 2?12(x?1)(x?1)??2[例2]已知函数f(x)??判断f(x)在x=1处是否可导？
1?(x?1)(x?1)??2分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 左右极限是否存在且相等。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即lim＋
－
?x?0f(x0??x)?f(x0)，△x→0，
?x包括△x→0，与△x→0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验