第一讲：因式分解(一) ...................................................... 1 第二讲：因式分解(二) ...................................................... 4 第三讲 实数的若干性质和应用 ....................................... 7 第四讲 分式的化简与求值 ............................................. 10 第五讲 恒等式的证明 ..................................................... 13 第六讲 代数式的求值 ..................................................... 16 第七讲 根式及其运算 ..................................................... 19 第八讲 非负数 ................................................................. 23 第九讲 一元二次方程 ..................................................... 27 第十讲 三角形的全等及其应用 ..................................... 31 第十一讲 勾股定理与应用 ............................................. 35 第十二讲 平行四边形 ..................................................... 38 第十三讲 梯形 ................................................................. 41 第十四讲 中位线及其应用 ............................................. 45 第十五讲 相似三角形(一) .............................................. 47 第十六讲 相似三角形(二) .............................................. 50 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2
-b2
=(a+b)(a-b)； (2)a2
±2ab+b2
=(a±b)2
； (3)a3
+b3
=(a+b)(a2
-ab+b2
)； (4)a3
-b3
=(a-b)(a2
+ab+b2
)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2
+b2
+c2
+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
；
(6)a3
+b3
+c3
-3abc=(a+b+c)(a2
+b2
+c2
-ab-bc-ca)； (7)an
-bn
=(a-b)(an-1
+an-2
b+an-3b2
+?+abn-2
+bn-1
)其中n为正整数；
(8)an
-bn
=(a+b)(an-1
-an-2
b+an-3b2
-?+abn-2
-bn-1
)，其中n为偶数；
第十七讲* 集合与简易逻辑 ........................................... 54
第十八讲 归纳与发现 ..................................................... 59 第十九讲 特殊化与一般化 ............................................. 63 第二十讲 类比与联想 ..................................................... 67 第二十一讲 分类与讨论 ................................................. 70 第二十二讲 面积问题与面积方法 ................................. 74 第二十三讲 几何不等式 ................................................. 77 第二十四讲* 整数的整除性 ........................................... 81 第二十五讲* 同余式 ....................................................... 84 第二十六讲 含参数的一元二次方程的整数根问题 ..... 87 第二十七讲 列方程解应用问题中的量 ......................... 91 第二十八讲 怎样把实际问题化成数学问题 ................. 95 第二十九讲 生活中的数学(三) ——镜子中的世界 ..... 98 第三十讲 生活中的数学(四)──买鱼的学问............... 99
第一讲：因式分解(一)
(9)an
+bn
=(a+b)(an-1
-an-2
b+an-3b2
-?-abn-2
+bn-1
)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x
5n-1yn+4x
3n-1yn+2
-2xn-1yn+4
；
(2)x3
-8y3
-z3
-6xyz； (3)a2
+b2
+c2
-2bc+2ca-2ab； (4)a7
-a5b2
+a2b5
-b7
．
解 (1)原式=-2xn-1yn
(x4
n-2x2
ny2
+y4
) =-2xn-1yn
[(x2
n)2
-2x2
ny2
+(y2)2
] =-2xn-1yn
(x2
n-y2)2
=-2xn-1yn
(xn
-y)2
(xn
+y)2
． (2)原式=x3
+(-2y)3
+(-z)3
-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2
+4y2
+z2
+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2
-2ab+b2
)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2
+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2
+(-b)2
+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2
(4)原式=(a7
-a5b2
)+(a2b5
-b7
) =a5
(a2
-b2
)+b5
(a2
-b2
)
=(a2-b2)(a5+b5
)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4
-a3
b+a2b2
-ab3
+b4
) =(a+b)2
(a-b)(a4
-a3
b+a2b2
-ab3
+b4
) 例2 分解因式：a3
+b3
+c3
-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
分析 我们已经知道公式
(a+b)3
=a3
+3a2
b+3ab2
+b3
的正确性，现将此公式变形为
a3
+b3
=(a+b)3
-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
解 原式=(a+b)3
-3ab(a+b)+c3
-3abc =［(a+b)3+c3
］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2
-c(a+b)+c2
]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2
+b2
+c2-ab-bc-ca)．
说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3
+b3
+c3
-3abc
显然，当a+b+c=0时，则a3
+b3
+c3
=3abc；当a+b+c＞0时，则a3
+b3
+c3
-3abc?0，即a3
+b3
+c3
?3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立． 如果令x=a3
?0，y=b3
?0，z=c3
?0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3 分解因式：x15
+x14
+x13
+?+x2
+x+1．
分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15
开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an
-bn来分解． 解 因为
x16
-1=(x-1)(x15
+x14
+x13
+?x2
+x+1)， 所以
说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用． 2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例4 分解因式：x3
-9x+8．
分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3
-9x-1+9
=(x3
-1)-9x+9
=(x-1)(x2
+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3
-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2
+x-8)．
解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3
． 原式=9x3
-8x3
-9x+8 =(9x3
-9x)+(-8x3
+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2
+x+1) =(x-1)(x2
+x-8)． 解法4 添加两项-x2
+x2
． 原式=x3
-9x+8 =x3
-x2
+x2
-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2
+x-8)．
说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 例5 分解因式： (1)x9
+x6
+x3
-3； (2)(m2
-1)(n2
-1)+4mn； (3)(x+1)4
+(x2
-1)2
+(x-1)4
； (4)a3
b-ab3
+a2
+b2
+1． 解 (1)将-3拆成-1-1-1． 原式=x9
+x6
+x3
-1-1-1 =(x9
-1)+(x6
-1)+(x3
-1)
=(x3
-1)(x6
+x3
+1)+(x3
-1)(x3
+1)+(x3
-1) =(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2
+x+1)(x6
+2x3
+3)． (2)将4mn拆成2mn+2mn． 原式=(m2
-1)(n2-1)+2mn+2mn =m2n2
-m2
-n2
+1+2mn+2mn =(m2n2
+2mn+1)-(m2
-2mn+n2
) =(mn+1)2
-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)． (3)将(x2
-1)2
拆成2(x2
-1)2
-(x2
-1)2
． 原式=(x+1)4
+2(x2
-1)2
-(x2
-1)2
+(x-1)4
=［(x+1)4
+2(x+1)2
(x-1)2
+(x-1)4
]-(x2
-1)2
=［(x+1)2
+(x-1)2]2
-(x2
-1)2
=(2x2
+2)2
-(x2
-1)2
=(3x2
+1)(x2
+3)． (4)添加两项+ab-ab． 原式=a3
b-ab3
+a2
+b2
+1+ab-ab =(a3
b-ab3
)+(a2
-ab)+(ab+b2
+1) =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2
+1) =a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2
+1) =[a(a-b)+1](ab+b2
+1) =(a2
-ab+1)(b2
+ab+1)．
说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验． 3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x2
+x+1)(x2
+x+2)-12．
分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了． 解 设x2
+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y2
+3y-10 =(y-2)(y+5)=(x2
+x-2)(x2
+x+5) =(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2
+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试． 例7 分解因式：
(x2
+3x+2)(4x2
+8x+3)-90．
分析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90 =(2x2
+5x+3)(2x2
+5x+2)-90． 令y=2x2
+5x+2，则 原式=y(y+1)-90=y2
+y-90 =(y+10)(y-9)
=(2x2
+5x+12)(2x2+5x-7) =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
例8 分解因式：
(x2
+4x+8)2+3x(x2
+4x+8)+2x2
．
解 设x2
+4x+8=y，则 原式=y2
+3xy+2x2
=(y+2x)(y+x) =(x2
+6x+8)(x2
+5x+8)