第2讲 数列求和与综合应用
[做小题——激活思维]
1．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( ) A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 [答案] C
2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝( )
A．9 B．8 C．17 D．16
A [S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]
12 0193．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为2 020，则项数n为( )
n?n＋1?A．2 016 C．2 018
111
D [an＝＝n－，
n?n＋1?n＋1
111111n2 019
Sn＝1－2＋2－3＋…＋n－＝1－＝＝2 020，所以n＝2 019.]
n＋1n＋1n＋14．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为
B．2 017 D．2 019
________．
2
n＋1
2?1－2n?n?1＋2n－1?n＋12
＋n－2 [Sn＝＋＝2－2＋n.]
21－2
2
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝________. (n－1)2n＋1＋2 [Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，① 所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，② ①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×22－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，
所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.]
[扣要点——查缺补漏]
1．数列通项的求法 (1)利用an与Sn的关系
?Sn，n＝1，
利用an＝?求通项时，要注意检验n＝1的情况．如T1.
?Sn－Sn－1，n≥2(2)根据数列的递推关系求通项的常用方法 ①累加(乘)法
形如an＋1＝an＋f(n)的数列，可用累加法； an＋1
形如a＝f(n)的数列，可用累乘法．
n②构造数列法
?1?nan11m
形如an＋1＝，可转化为－a＝n，构造等差数列?a?；
man＋nan＋1n?n?
n＋1
2×?1－2n?
＝－n×2n＋1＝2n＋1－
1－2
q?q?
形如an＋1＝pan＋q(pq≠0，且p≠1)，可转化为an＋1＋＝p?an＋p－1?构
p－1??q??
造等比数列?an＋p－1?.
??
2．数列求和的常用方法
(1)倒序相加法；(2)分组求和法，如T4；(3)错位相减法，如T5；(4)裂项相消法，如T3；(5)并项求和法，如T2.
数列中an与Sn的关系(5年3考)