1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，111749AD是整数，求AD
A B
D
C
解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC
在△ACD和△BDE中 AD=DE
∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中
AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3 ∴AD=2
2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD?A 1AB 2D C B
延长CD与P，使D为CP中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP为平行四边形 又∠ACB=90
∴平行四边形ACBP为矩形 ∴AB=CP=1/2AB
3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
A 1 2 B E C F D
证明：连接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE
在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。 ∵ ∠ABC=∠AED。 ∴ ∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。 ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
A 1 2 F C D E B 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC
∠FDE＝∠GDC（对顶角） ∴△EFD≌△CGD EF＝CG
∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2
∴△AGC为等腰三角形， AC＝CG 又 EF＝CG ∴EF＝AC
5. 已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C
6. 已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE