高二数学选修2-3数学教案5
组合(一)
教学过程： 一、问题情景 【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
【问题2】从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合。 ．．．
二、数学构建
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并成一组，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同。
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m?m?n?个元素的所有组合的个数，
m叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示．
3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数C4是多少呢？
33启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4可以求得，故我们可以考察一下C4和A4的关系，如下：
组 合 排列
abc?abc,bac,cab,acb,bca,cba abd?abd,bad,dab,adb,bda,dba
acd?acd,cad,dac,adc,cda,dcabcd?bcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A4，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素
3的组合，共有C4个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A3种方法．由
3333
3A4C?3．
A334分步计数原理得：A34＝
C?A3433，所以，
m（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分
m如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；② 求每一个组合mmmm中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：An＝Cn． ?Am
mn（3）组合数的公式：
n!Anmn(n?1)(n?2)?(n?m?1)m或Cn?(n,m?N?,且m?n) C?m?m!(n?m)!Amm!三、知识运用
74【例1】计算：（1）C7； （2）C10；
7?6?5?4＝35；
4!10?9?8?7?6?5?47 （2）解法1：C10?＝120．
7!10!10?9?87? 解法2：C10?＝120． 7!3!3!m?1m?1m?Cn． 【例2】求证：Cn?n?m
（1）解： C7?4
证明：∵Cn?mn!，
m!(n?m)!m?1n!? n?m(m?1)!(n?m?1)!
m?1?Cn?m＝
m?1n?
m?1n!n!?＝
(m?1)!(n?m)(n?m?1)!m!(n?m)!m
∴Cn?m?1m?1?Cn n?mx?12x?3【例3】设x?N?, 求C2x?3?Cx?1的值
2x?3?x?1解：由题意可得：? ，解得2?x?4， ??x?1?2x?3∵x?N?， ∴x?2或x?3或x?4，
当x?2时原式值为7；当x?3时原式值为7；当x?4时原式值为11． ∴所求值为4或7或11． 【例4】（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
222解：C6?C4?C2?90．
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？ 解：问题可以分成2类：
22第一类 2名男生和2名女生参加，有C5C4?60中选法； 31第二类 3名男生和1名女生参加，有C5C4?40中选法 依据分类计数原理，共有100种选法 211错解：C5C4C6?240种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多 【例5】4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C4，
2112，C4， C4?C6?C62112所以，一共有C4+C4+C4＝100种方法． ?C6?C633解法二：（间接法）C10?C6?100 33四、学力发展 1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题： （1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？ （2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）
A．42 B．21 C．7 D．6 3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线