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15 平面向量的坐标
时间：45分钟 满分：80分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1→→→1．已知向量AB＝(2,4)，AC＝(0,2)，则BC＝( ) 2A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1) 答案：D 1→1→→1解析：BC＝(AC－AB)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 222→→→2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则DA＝( ) A．(2,4) B．(3,5) C．(1,1) D．(－1，－1) 答案：C →→→→→解析：DA＝－AD＝－BC＝－(AC－AB)＝(1,1)． →3．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥AB，则实数λ的值为( ) 23A．－ B. 3223C. D．－ 32答案：C →→解析：根据A，B两点的坐标，可得AB＝(3,1)，∵a∥AB，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝2，故选C. 34．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c可用a，b表示为( ) 1313A．－a＋b B.a－b 22223131C.a－b D．－a＋b 2222答案：B 解析：设c＝x a＋y b，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)． ?x＋y＝－1，?∴???x－y＝2. ??解得?3y＝－??2.x＝，12 故选B. →→5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为( ) 1??7??A.?2，? B.?2，－? 2??2??鼎尚出品
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C．(3,2) D．(1,3) 答案：A ??2m＝4解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故??2n－4＝3? ，m＝2??解得?7n＝??2 ?7?，即点D?2，?，故选A. ?2?6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为( ) ππA. B. 63π2πC. D. 23答案：B πa解析：由sinB＝1，得B＝，所以在△ABC中，cosC＝.又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，2bb1πp∥q，得2a－b＝0，a＝，故cosC＝，所以C＝. 223二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) 7．若向量a＝(1,2)，b＝(－1,0)，则2a－b＝________. 答案：(3,4) 解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)． 8．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k＝________. 答案：1 解析：a－2b＝(3，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝3×3，解得k＝1. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点→P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________． 答案：(2－sin2,1－cos2) ⌒2解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧PA长为2，∠ABP＝＝2. 1ππ设P(x，y)，则x＝2－1×cos(2－)＝2－sin2，y＝1＋1×sin(2－)＝1－cos2， 22→∴OP的坐标为(2－sin2,1－cos2)． 三、解答题：(共35分，11＋12＋12) →1→10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC＝BC，2 鼎尚出品
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→1→连接DC延长至E，使|CE|＝|ED|. 4求点E的坐标． 1→1→解析：设C(x，y)，由AC＝BC，得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)． 22??即?1y－1＝??2x＋2＝1x－1，2y－4. ??x＝－5，解得???y＝－2. 即C(－5，－2)．又E在DC的延长线15→1→上，∴CE＝DE，设E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3) 解得a＝－8，b＝－.∴4435E(－8，－)． 311．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)． →→(1)若AB＝CD，求点D的坐标； →→(2)设向量a＝AB，b＝BC，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值． 解：(1)设D(x，y)． →→由AB＝CD，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x－4，y＋1)， ???x－4＝1?x＝5?所以，解得?. ?y＋1＝－5?y＝－6??所以点D的坐标为(5，－6)． →(2)因为a＝AB＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)， →b＝BC＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)， 所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)， a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)． 1由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－. 3→→→12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋tAB. (1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？ (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． →→→解析：OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，OP＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 21(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；33 ?1＋3t<0?21若P在第二象限，则有?，解得－