2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题
说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.
第一试
1.已知a≠0,并且关于x的方程ax2－bx－a+3=0①至多有一个解,试问:关于x的方程(b－3)x2+(a－2b)x+3a+3=0②是否一定有解?并证明你的结论.
2.已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点,P为AB线段内部的任意一点,设BP的垂直平分线与直线AD交于点E,PC与AD交于点F.求证:直线EP是△APF的外接圆的切线.
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3.在1,2,…,2 007这2 007个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.
第二试
1.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,
AC6AB?1?,则=________________ . BC2AC?a?b?1,20082008ab?22.已知?a,则代数式2007?化简的最后结果是_________. b212007c(2007-c)????c2007?c20073.代数式113x2?3－110x的最小值为__________________. 4.如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的大的锐角的度数为________________.
5.已知在直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点分别为A(2
1,那么,这个直角三角形中较42 , 2+6 )、B(2,2)、C(5
2, 2).则△ABC的边BC上的高与∠ABC的平分线的交点的坐标为___________.
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6.已知某工厂一月份生产某产品1万件,二月份生产1.2万件,三月份生产1.3万件,n月份生产abn+c万件,其中a、b、c都是常数,n=1,2,…,12,则该工厂四月份生产___________________万件. 7.方程3x3+2
2x2－(17－9 2)x－(6－5
2)=0的解为x1= ________,x2=______ ,x3=______ .
8.已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为k.则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于_____________.
9.已知正方形纸片ABCD的面积为2 007 cm2.现将该纸片沿一条线段折叠(如图1),使点D落在边BC上的点D′处,点A落在点A′处,A′D′与AB交于点E.则△BD′E的周长等于______cm.
10.若x为整数,3 第 3 页 共 7 页