1h2P2??水h2?23.09kN0 2sin60'h2?0.77mh2?18.48kN sin600h3'?1.155mP3??油h1''''对B点取矩：P1h1?P2h2?P3h3?PhD'hD?1.115m'hD?3?hDsin600?2.03m 开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当r0多少时，顶盖所受的水的总压力为零。 Or0 [解] 液体作等加速度旋转时，压R强分布为 p??g(2-14．平面闸门AB倾斜放置，已知α＝45°，门宽b＝1m，水深H1＝3m，H2＝2m，求闸门所受水静压力的大小及作用点。 A?2r22g?z)?C 积分常数C由边界条件确定：设坐标原点放在顶盖的中心，则当r?r0，z?0时，h1Bh2p?pa（大气压），于是， [解] 闸门左侧水压力： 在顶盖下表面，z?0，此时压强为 1h1131P??gh?b??1000?9.807?3??1?p62?.41pkN???2(r2?r02) 11a?2sin?2sin452 顶盖下表面受到的液体压强是p，上表作用点： 面受到的是大气压强是pa，总的压力为零，即 RRh131222 h1'???1.414m(p?p)2?rdr???(r?r)2?rdr?0a0???003sin?3sin452闸门右侧水压力： 1h1 2 积分上式，得 P2??gh2?2b??1000?9.8?2??1?27.74kN2sin?2sin45?12R2r??2m ，r?R 0022作用点：
h222-16．已知曲面AB为半圆柱面，宽度为1m，D=3m，' h2???0.943m试求AB柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力3sin?3sin45? 总压力大小：Pz 。
[解] 水平方向压强分布图和压力体如图所示： P?P?P?62.41?27.74?34.67kN 12211D3??对B点取矩： Px??gD2b??g??b??gD2b 22?2?8'''P1h1?P2h2?PhD 3??9810?32?1?33109N 8'62.41?1.414?27.74?0.943?34.67hD1????Pz??g?D2?b??gD2b
4?416?'hD?1.79m
3.142?9810??3?1?17327N 2-15．如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半16径R＝2m，容器内充满水，顶盖上距中心为r0处2-17．图示一矩形闸门，已知a及h，求证45° p?pa??g[ ?22g(r2?r02)?z] H>a?1415h时，闸门可自动打开。
[
证明] 形心坐
标
z?H?(a?25h)?hhc?hc2?H?a?10
则压力中心的坐标为
zJcD?hD?zc?zcAJ1c?12Bh3;A?Bh z?(H?a?hh2D10)?12(H?a?h/10)当H?a?zD，闸门自动打开，即
H?a?1415h
第三章 流体动力学基础
3-1
．检
验
ux?2x2?y, uy?2y2?z, uz??4(x?y)z?xy不可压缩流体运动是否存在？
[解]（1）不可压缩流体连续方程
?ux?uy??x??y?uz?z?0 （2）方程左面项
?ux?4x?uy?x；
?y?4y；
?uz?z??4(x?y) （2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流
体连续方程，故运动存在。 3-2．某速度场可
表示为
ux?x?t；uy??y?t；uz?0，试求：（1）加速
度；（2）流线；（3）t= 0时通过x=-1，y=1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？
[解] （1）ax?1?x?t
ay?1?y?t 写成矢量即
a?(1?x?t)i?(1?y?t)j
az?0
（2）二维流动，由
dxu?dy，积分得流线：xuyln(x?t)??ln(y?t)?C1
即 (x?t)(y?t)?C2
（3）t?0,x??1,y?1，代入得流线中常数
C2??1
流线方程：xy??1 ，该流线为二次
曲线
（4）不可压缩流体连续方程：
?ux?uy??x??y?uz?z?0 已知：
?ux?x?1,?uy?y??1,?uz?z?0，故方程满足。 3-3．已知流速场
u?(4x3?2y?xy)i?(3x?y3?z)j，试问：（1）点
（1，1，2）的加速度是多少？（2）是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？ [解]
u3x?4x?2y?xyuy?3x?y3?z
uz?0du?u?u?u?uax?x?x?uxx?uyx?uzxdt?t?x?y?z?0?(4x3?2y?xy)(12x2?y)?(3x?y3?z)(2?x)?0
代入（1，1，2）
)?0?ax?0?(4?2?1)(12?1)?(3?1?2)(2?1a1(1?qn)1?0.988Sn???7.462
1?q1?0.984qV14?0.047?10?3v1?2??8.04m/s?dSn??0.0012?7.462v8?0.987v1?0.987?8.04?6.98m/s
?ax?103
同理：
?ay?9
3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速
r按抛物线方程：u?umax[1?()2]对称分布，式中
r0因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是
??a?103i?9j
（2）运动要素是三个坐标的函数，
属于三元流动
?u（3）?0，属于恒定流动
?t（4）由于迁移加速度不等于0，属于
非均匀流。 3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？
管道半径r0=3cm，管轴上最大流速umax=0.15m/s，试求总流量Q与断面平均流速v。
r0r2Q?udA?u[1?([解] 总流量：?A?0maxr0)]2?rdr
??2umaxr02?断
?2面
?0.15?0.032?2.12?10?4m3/s
平
均
流
速
：
?
[
解
]
由
题
意
v?Q2??r02?r02umaxr02?umax?0.075m/s 23-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所
测得水银差压计qV?v?0.15??0.022?0.047?10?3m3/s?0.047示。L/s已知输水管直径d=200mm，
44读书hp=60mm，若此时断面平均流速v=0.84umax，
这里umax为皮托管前管轴上未受扰动水流的流
速，问输水管中的流量Q为多大？（3.85m/s）
v2?0.98v1；v3?0.982v1；······；
?D2?v8?0.987v1
qV??d24(v1?0.98v1?0.98v1???0.98v1)?27?d24v1Sn
式中Sn为括号中的等比级数的n项
和。
由于首项a1=1，公比q=0.98，
项数n=8。于是
?
2pAuAp?? ?g2g?g2uApp????A?(?1)hp?12.6hp 2g?g?g?[解] ?uA?2g?12.6hp?2?9.807?12.6?0.06?3.85m/s
Q??2?4dv?4?0.22?0.84?3.85?0.102m3/s
3-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm，dB=400mm，A点相对压强pA=68.6kPa，B点相对压强pB=39.2kPa，B点的断面平均流速vB=1m/s，A、B两点高差△z=1.2m。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失hw。
[解] ??4d2AvA??d24BvB
?vd2B4002A?d2vB?()?1?4m/s
A200 假定流动方向为A→B，则根据伯努利方
程
z?p22A?Av?g?A2g?zpB?BvBAB??g?2g?hw
其中zB?zA??z，取?A??B?1.0
?hp22A?pBvA?vBw??g?2g??z
?68600?392009807?42?122?9.807?1.2
?2.56m?0
故假定正确。 3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45o，如图所示。已知管径d1=200mm，d2=100mm，两断面的间距l=2m。若1-1断面处的流速v1=2m/s，水银差压计读数hp=20cm，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失hw和压强差p1-p2。
[解] ??24d1v1??d242v2
?vd2120022?d2v1?()?2?8m/s
2100假定流动方向为1→2，则根据伯努利方程
pv221?11?p2?2v2?g?2g?lsin45??g?2g?hw 其中p1?p2?g?lsin45??(????1)hp?12.6hp，
取
?1??2?1.0
?hhv221?v24?64w?12.6p?2g?12.6?0.2?2?9.807??
故假定不正确，流动方向为2→1。
由
p1?p2?g?lsin45??(????1)hp?12.6hp 得 p1?p2??g(12.6hp?lsin45?)
?9807?(12.6?0.2?2sin45?)?38.58k
3-9．试证明变截面管道中的连续性微分方程为??1?t??(?uA)A?s?0，这里s为沿程坐标。 [证明] 取一微段ds，单位时间沿s方向流进、流出控制体的流体质量差△ms为