其中，
即 对于
即
对于
即 故
就F解出得
4-10 溢水堰模型设计比例
=20，当在模型上测得流量为 时，水流对堰体的推力为 ，求实际流量和推力。
解：堰坎溢流受重力控制，由
弗劳德准则，有 ，
由 = =
而 所以， 即
4-13 将高 ，最大速度 的汽
车，用模型在风洞中实验（如图所示）以确定空气阻力。风洞中最大吹风速度为45 。
（1）为了保证粘性相似，模
型尺寸应为多大？
（2）在最大吹风速度时，模
型所受到的阻力为 求汽车在最大运动速度时所受的空气阻力（假设空气对原型、模型的物理特性一致）。
解：（1）因原型与模型介质相
同，即
故由 准则有 所以， （2） ，又 ，所以 即 4-14 某一飞行物以36 的速
度在空气中作匀速直线运动，为了研究飞行物的运动阻力，用一个尺寸缩小一半的模型在温度为 ℃的水中实验，模型的运动速度应为多少？若测得模型的运动阻力为1450 N，原型受到的阻力是多少？已知空气的动力粘度 ，空气密度为 。
解：由 准则有 即 所以 （2）
5-2 有一矩形断面小排水沟，
水深 ，底宽 流速 水温为15℃，试判别其流态。
解： ， > ，属于紊流
5-3 温度为 ℃的水，以 的流
量通过直径为 的水管，试判别其流态。如果保持管内液体为层流运动，流量应受怎样的限制？
解：由式（1-7）算得 ℃时， （1）判别流态 因为 所以 ，属于紊流
（2）要使管内液体作层流运
动，则需
即
5-4 有一均匀流管路，长 ，
直径 ，水流的水力坡度 求管壁处和 处的切应力及水头损失。
解：因为
所以在管壁处： 处： 水头损失：
5-5 输油管管径 输送油量 ，
求油管管轴上的流速 和1 长的沿程水头损失。已知 ， 。
解：（1）判别流态
将油量Q换成体积流量Q ，层流
（2）由层流的性质可知 （3）
5-6 油以流量 通过直径 的
细管，在 长的管段两端接水银差压计，差压计读数 ，水银的容重 ，油的容重 。求油的运动粘度。
解：列1-2断面能量方程 取 （均匀流），则
假定管中流态为层流，则有 因为 属于层流 所以，
5-7 在管内通过运动粘度 的
水，实测其流量 ，长 管段上水头损失 H2O，求该圆管的内径。
解：设管中流态为层流，则 而
代入上式得
验算： ， 属于层流 故假
设正确。
5-9 半径 的输水管在水
温 ℃下进行实验，所得数据为 ， ， 。
（1）求管壁处、 处、 处的
切应力。
（2）如流速分布曲线在 处的
速度梯度为 4.34 ，求该点的粘性切应力与紊流附加切应力。
（3）求 处的混合长度及无量
纲常数 如果令 ，则 ？
解：（1） （2）
（3） 所以 = 又
若采用 ， 则
5-10 圆管直径 ，通过该管道
的水的速度 ，水温 ℃。若已知 ，试求粘性底层厚度 。如果水的流速提高至 ，如何变化？如水的流速不变，管径增大到 ， 又如何变化？
解： ℃时， （1） （2） （3）
5-12 铸铁输水管长 =1000 ，
内径 ，通过流量 ，试按公式计算水温为10℃、15℃两种情况下的 及水头损失 。又如水管水平放置，水管始末端压强降落为多少？
解：
(1)t=10℃ 时，符合舍维列夫
公式条件，因 ，故由式（5-39）有
(2)t=15℃时，由式（1-7）得
由表5-1查得当量粗糙高度
则由式（5-41）得，
5-13 城市给水干管某处的水
压 ，从此处引出一根水平输水管，直径 ，当量粗糙高度 = 。如果要保证通过流量 ，问能送到多远？（水温 ℃）
解： t=25℃时，
由式（5-41）得， 又
由达西公式 得
5-14 一输水管长 ，内径 管
壁当量粗糙高度 ，运动粘度 ，试求当水头损失 时所通过的流量。
解：t=10℃时，由式（1-6）
计算得 ，假定管中流态为紊流过渡区
因为
代入柯列勃洛克公式（5-35）
得
㏒ = -2㏒( ) 所以 =
检验：
因为 ,属于过渡区，故假定
正确，计算有效。
5-16 混凝土排水管的水力半
径 。水均匀流动1km的水头损失为1 m,粗糙系数 ，试计算管中流速。
解：水力坡度 谢才系数 代入谢才公式得 5-20流速由 变为 的突然扩
大管，如分为二次扩大，中间流取何值时局部水头损失最小，此时水头损失为多少？并与一次扩大时的水头损失比较。
解：一次扩大时的局部水头损
失为：
分两次扩大的总局部水头损
失为：
在 、 已确定的条件下，求产
生最小 的 值:
即当 时，局部水头损失最小，
此时水头损失为
由此可见，分两次扩大可减小
一半的局部水头损失。
5-21 水从封闭容器 沿直
径 ，长度 的管道流入容器 。若容器 水面的相对压强 为2个工程大气压， ，局部阻力系数 沿程阻力系数 ，求流量 。
解：取 基准面，列 断面能量
方程
所以 = = Q= =
5-22 自水池中引出一根具有
三段不同直径的水管如图所示。已知 ， ， ，局部阻力系数 求管中通过的流量并绘出总水头线与测压管水头线。
解：取 基准面，则 断面方程
得
其中，
????=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy 5-23 图中 ， ，计算水银差
?y?x压计的水银面高差 ，并表示出水银面高差方向。
解：以 为基准面，据
ψ= dψ?又
= =7.65
????=dx+dy=?-Vydx+Vxdy=? 5-25 计算图中逐渐扩大管的??x?y局部阻力系数。已知 ， 工程大气压， ， 工程大气压， ，流过的水量 。 4ydx+(4x+1)dy
解：以 断面为基准面，据
又，
第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为
Vx=4x+1；Vy=-4y.
(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ
解：（1）由于?Vx?x??Vy?y?4?4?0，故该流动满足连续性方程
（2）由ω1?Vy?Vx1z=2(?x??y)=2(?4?4)＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，.
（3）因 Vx????x????y=4x+1 Vy=???y=-???x=-4y
d
φ
=?????xdx+?ydy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy
φ
=
?d
φ
=
??????xdx+?ydy=
?Vxdx+Vydy=
?
(4x+1)dx+(-4y)dy
=2x2-2y2+x d
ψ
=4xy+y
6-2 平面不可压缩流体速度分布: Vx=x2-y2+x; Vy=-(2xy+y).
(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函
数ψ存在否? (3)求φ、ψ .
解：（1）由于
?Vx?x+?Vy?x=2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在.
(2）由ω1z=
2(?Vy?x??Vx?y)=12(?2y?(?2y))＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在. （3）因 Vx=
???x =???y= x2-y2+x,
Vy=
???y=-???x=-(2xy+y).
dφ
=
??dx+??dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2?x?y+x )dx+(-(2xy+
y).)dy φ=
?dφ=
??????xdx+?ydy=?Vxdx+Vydy
=
? (x2-y2+x )dx+(- (2xy+y))dy
x3=3-xy2+(x2-y2)/2 dψ=
?????xdx+?ydy=-Vydx+Vxdy
ψ=
?dψ=
????xdx+???ydy=?-Vydx+Vxdy
=
?(2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/3
6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x2
-y2
-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx=
????x =??y=2x-1，Vy ＝
?????Vx?Vy?y???x??2y，由于?x+?x＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在
dψ=
?????xdx+?ydy=-Vydx+Vxdy
ψ
=
?d
ψ
=
????xdx+???ydy=?-Vydx+Vxdy=?2ydx+(2x-1)d
y=2xy-y
在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=6
6-4已知平面流动速度势函数 φ=-q2?lnr,写出速度分量Vr,Vθ,q为常数。 解: Vr=
???r =-q2?r, V=??θr??==0
6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-mθ+C ,写出速度分
量Vr、Vθ, m为常数 解: Vr=
???r =0, V=??mθr??==-r
6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率ε
xx
,ε
yy
, 求出速度势函数φ.
解： 因 Vx=
???x =???y= 1
Vy=?????y=-?x=-1
dφ=
?????xdx+?ydy=Vxdx+Vydy
φ=
?dφ
=
????xdx+???ydy=?Vxdx+Vydy=?dx+(-1)dy=x-y
??vx?vxx??x,?yy?y?y adVxx=
dt??Vx?t?Vx?Vx?x?Vy?Vx?y?0； adVyy=
dt??Vy?t?Vx?Vy?x?Vy?Vy?y?0 6-7 已知平面流动流函数ψ=x2
-y2
,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.
解： 因 Vx=
???x =???y= -2y
Vy=
?????y=-?x=-2x
dφ=
???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy
φ=
?dφ
=
????xdx+???ydy=?Vxdx+Vydy=?-2ydx+(-2x)dy=
-2xy adVxdt??Vx?Vx?Vxx=
?t?Vx?x?Vy?y?4x adVyy=
dt??Vy?t?Vx?Vy?x?Vy?Vy?y?4y; 6-8一平面定常流动的流函数为
?(x,y)??3x?y
试求速度分布，写出通过A（1，0），和B（2，3）两点的流线方程. 解：vx????y?1, vy?????x?3 平面上任一点处的速度矢量大小都为