第九届华杯赛总决赛二试试题及解答
1.一正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈地相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树，…，最内一圈种了4棵李树．已知树苗的的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵．问：桃树和李树一共有多少棵？
2.如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大．
3、甲、乙两家医院同时接受同样数量的病人，每个病人患x病或y病中的一种，经过几天治疗，甲医院治好的病人多于乙医院治好的病人．问：经过这几天治疗后，是否可能甲医院对x病的治愈率和对y病的治愈率均低于乙医院的？举例说明．（x病治愈率
=）
4、完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时．现甲、乙和丙按如下顺序工作：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙、…，每人工作一小时换班，直到工程完成．问：当工程完成时，甲、乙、丙各干了多少小时？
5、求同时满足下列三个条件的自然数a，b：1）a＞b； 2） 3）a＋b是平方
数
6.如图，正方形跑道ABCD．甲、乙、丙三人同时从A点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米．若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方．从此时刻算起，又经过21秒，甲乙丙三人处在跑道的同一位置，这是出发后三人第一次处在同一位置．请计算出正方形的周长的所有可能值．
参考答案
1．400棵2．当C点在通过圆心且与直径AB垂直的直线与半圆的交点处时，两弯月型的面积最大3．能4．当工程完成时，甲干了7．2小时；乙、丙各干了8小时5．
6．正方形跑道的周长是210米或420米
1．解：下图画出苗圃的最里面3层，可以看出，苗圃所种果树的棵数为：4＋12＋20＋28＋……，每外一圈的桃树比相邻内一圈的李树多8棵，40÷8＝5，所以共有10圈，最外圈的
桃树为4＋9×8＝76棵，果树总棵数为＝400（棵）
2．解：两弯月形面积＝
本题即AC×BC何时有最大值.因为
＋×AC×BC＝，当
×AC×BC
时，
有最大值，此时AC×BC有最大值，即AC＝BC时，阴影面积最
大.
3．解：例如，甲、乙医院接收和治愈x，y病的人数如下表： 甲医院
接收人数 治愈人数 治愈率 乙医院
接收人数 治愈人数 治愈率 x病 80 20 25% y病 20 20 100% 合计 100 40 x病 20 1 5% y病 80 40 50% 合计 100 41 4．解：三人各干一小时完成，360÷47＝7，
即经过每人干7小时还剩工程的1－×7＝没有干完，
从题目所给的换班规则（每次3小时，各干1小时），
每三次一个周期，三人的工作顺序第8次换班应和第二次相同，
即按乙、丙、甲的顺序，＞，－＝，＞，－＝，
就是说，乙、丙又各干一小时，还剩的工作量，÷＝0.2（小时）
即当工程完成时，甲干了7．2小时；乙、丙各干了8小时．
5．解：由，可得：ab＝169a＋169b，ab－169a＝169b，
a＝，a＋b＝＝，
，b＝
＋169；
因为a＋b是平方数，所以b－169是平方数，设b－169＝
同理可得ab－169b＝169a，b＝数， 设a－169＝
，a＝
，a＋b＝＝，a－169是平方
+169；于是，a＋b＝＋2×169＋.
2×169＝2×13×13，或2×169＝2×1×169，或2×169＝2×169×1， 因为a＞b，所以m＞n，a＋b是平方数， 所以，m＝169，n＝1，a＝
＋169＝
＋169＝169×170，b＝
＋169＝
＋169＝
170.
6．解：甲跑5圈孤时间，乙跑4圈，再跑3圈，此时三人处在同一位置，都在A点．倒退21秒，
甲的位置距A点5×21=105（米），甲与丙相距（5-3）×21=42（米）． 因为此时甲首次看到乙、丙与自己在同一条边上， 所以甲此时应恰好在正方形的某一顶点上，即105米是正方形边长的整数倍，且正方形的边长不小于42米． 105÷1＝105＞42， 105÷2＝52.5＞42，105÷3＝35＜42.
所以正方形的边长是105米或52.5米，周长为420米或210米．