好题速递351题
1x24y2对任意实数x?1,y?，不等式2??1恒成立，则实数a的最大值
a?2y?1?a2?x?1?2为 ．
解：令m?x?1?0,n?2y?1?0
x24y2?m?1??n?1?m2?2m?1n2?2n?14m4n????????8 则
2y?1x?1nmnmnm当且仅当m?n?1，即x?2,y?1时取得等号。
?x24y2??故a????8，即?22?a?22 2y?1x?1??min点评：本题因为分母比较复杂不整洁，所以将分母进行换元是常见的方法。
222好题速递352题
若向量a,b满足4a?ab?b?1，则2a?b的最大值为 。 解：由极化恒等变形得
2a?b?2a?b?8a?2b，2a?b?2a?b?8ab
22222222故即
2a?b?2a?b222?22a?b?2a?b822?1
52a?b822?32a?b8?1
2832a?b8即2a?b???
555210故2a?b? 5
好题速递353题
已知函数f?x??ax2?bx?c?a?0?，且a?b。f?x??0对?x?R恒成立，则M?的最小值为 。 解法一：齐次化思想 根据条件有a?0,??0，则1?bc ?2aaa?2b?4cb?a4c4c?3?3a?2b?4caa因此 ?2??2?bb?ac?12?1aa 令ca?t?1a?2b?4c2，则
b?a?2?4t2?32t?1?4??2t?1??4?2t?1??8 解法二：由题意可知??b2?4ac?0，即4ac?b2
M?a?2b?4cb?a?a?a?2b?4c?a?b?a??a2?2ab?4aca2?2ab?b2ab?a2?ab?a2 此时已经转成齐次式了，所以分子分母同除a2 则M?a2?2ab?b2t2?2t?1ab?a2?t?1?t?1?4t?1?4?8
当且仅当t?ba?3及4ac?b2时，即b?3a,c?9a4时取得。 根据条件有a?0,??0，则c?b2解法三：4a
b2a?2b故
a?2b?4c?ab?a?b?a 令b?a?t?t?0?得
a?b?ca?2b?b2ab?a??4?t?4ab?aat?8 ?2a及c?b2当且仅当t9a4a时取得最小值，即b?3a,c?4时取得。
解法四：令
a?2b?4ct?b?a???2b?a?b?a?t?t?0?，得c?4，代入??b2?4ac?0 得t??a?b?2?a?b?2?a?b?2a?b?a??1??8
2?2a??b?a?1??2a??b?a??22??2??解法五：待定系数法 假设
a?2b?4cb?a?t，化简为?1?t?a??2?t?b?4c?0
又4x2a?4xb?4c?0
故比对系数得4x2?1?t,4x?2?t，得x??32,t?8
因为f????3?2???0，所以94a?32b?c?0?a?2b?4c?8?b?a?
因为b?a，所以
a?2b?4cb?a?8
好题速递354题
空间四点A,B,C,D满足AB?2，BC?3，CD?4，DA?7，则ACBD的值为 。
2
解：
ACBD?DC?DABD??DCDB?DADBDC?DB?BCDA?DB?AB???2222??222222
2 A 7 D B
3 C 4 42?DB?3272?DB?22????19
22点评：这里用到了向量点积的余弦定理形式，
即ABAC?AB?ACcosA?
AC?AB?BC
2222好题速递355题
已知圆O:x2?y2?4，M?1,0?，直线l:x?y?b，P在圆O上，Q在直线l上，满足
MPMQ?0，MP?MQ，则b的最大值为 ．
解：设Q?x,b?x?，M?1,0?，所以MQ??x?1,b?x? 因为MPMQ?0，MP?MQ，
故知MP就是绕着M顺时针或逆时针旋转90得到 所以MP??b?x,1?x?或MP???b?x,x?1? 即P?b?1?x,1?x?或P??b?1?x,x?1?
P在圆O:x2?y2?4上，
所以?b?1?x???1?x??4或??b?1?x???x?1??4
即2x2??2b?4?x?b2?2b?2?0或2x2?2bx?b2?2b?2?0 两个方程中有一个有解即可，
所以?1??2b?4??8b2?2b?2?0?b2?8??22?b?22 或?1??2b??8b2?2b?2?0?b2?4b?4?0?2?22?b?2?22 综上， ?22?b?2?22
222222????????好题速递356题
已知实数x,y满足关系式xy?x?y?1，则x2?y2的最小值是 ．
解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。
3