第一章函数、极限与连续
内容概要
名称 函 数 函 数 两个要素：对应法则邻 域 主要内容（1.1、1.2） U?a,???xx?a????（即U?a,?（U0????xa???x?a??? ） ?a,????xa???x?a??,x?0?）U0?a,???x0?x?a???f以及函数的定义域D 由此，两函数相等?两要素相同；（与自变量用何字母表示无关） 解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数； 特 性 局 部 单 调 性 区间I局部 有界 性 对集合X?D，若存在正数M上有界，或，使对所有x?X，恒有f?x??M，称 函数f?x?在Xf?x?是X上的有界函数；反之无界，即任意正数 M（无论M多大），总存在（能找到）x0?X，使得f?x0??M ?D，对区间上任意两点x1x2，当x1?x2时，恒有： f?x1??f?x2?，称函数在区间I反之，若上是单调增加函数； 上是单调减小函数； f?x1??f?x2?，则称函数在区间I 奇偶性 设函数则称f?x?的定义域D关于原点对称；若?x?D，恒有f??x??f?x?， f?x?是偶函数；若?x?D，恒有f??x???f?x?，则称f?x?是奇 函数； 周期性 若存在非零常数T，使得对?x?D，有?x?T??D，且 f?x?T??f?x?，则称f?x?是周期函数； 初等 函数 几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数； 反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数
第3章 中值定理与导数的应用
内容概要 名称 3.1 中值 定理 名称 罗尔中值定理 主要内容（3.1、3.2） 条件 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导；（3）结论 至少存在一点ξ?(a,b)使得f(a)?f(b) f/(ξ)?0 至少存在一点拉格朗日中值定理 柯西中值定理 （1）在[a,b]上连续；（2）在(a,b)y?f(x)：内可导 ??(a,b)使得f/(ξ)?f(b)?f(a) b?a（1）在[a,b]上连续，在(a,b)f(x)、g(x)：内可导；（2）在(a,b)内每点处g/至少存在一点ξ?(a,b) 使得(x)?0 f/(ξ)f(b)?f(a)?/b?ag(ξ)3.2 洛必达 法则 基本形式 00型与?型未定式 ?通分或取倒数化为基本形式 0?型或型； ?00?2）0??型：常用取倒数的手段化为型或型，即： ?000??0????或0????； 1/?01/0?1）???型：常用通分的手段化为1）0型：取对数得000取对数化为 基本形式 其中0?ln0?0????e0?ln0，00?1/?0或0?ln0?0???2）1型：取对数得1?????； 1/0??e??ln1， 00? 1/?0??或??ln1???0??； 1/0?其中??ln1???0?3）?型：取对数得?00?e0?ln?， 00? 1/?0??或0?ln??0????。 1/0?其中0?ln??0???
函数，极限与连续&中值定理
习题1~8
★ ★ 5.利用等价无穷小性质求下列极限：
?sinx?tanx；
（2）lim3x?01?cosx2（3）limln?1?3xsinx?； x?0tanx2x?0（4）lim1?xsinx?1；
xarctanx知识点：等价无穷小代换求极限；
思路：要活用等价无穷小公式，如当x?0，有x?0，故sinx～x，以及有关定理。
333?sinx?tanx?lim（2）lim3x?01?cosx2x?0x3?x?2
122x2??（3）当x?0时，3xsinx?0，故ln?1?3xsinx?～3xsinx，
ln?1?3xsinx?3xsinx?lim?3；
x?0x?0tanx2x21xsinx1?xsinx?11（4）lim?lim2? ；
x?0x?0xarctanxx?x2 lim习题3~2
★ ★ 1.用洛必达法则求下列极限：
（7） limtanx?xx?0x-sinx；
知识点：洛必达法则。
思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：
00型与
?型未定?式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于???型与0??型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0型、1型与?型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。
0?0tanx?xsec2x?12tanxsec2x2?lim?lim?lim?2； （7） lim3x?0x?sinxx?01?cosxx?0x?0sinxcosx习题1~6
★ ★ 1．计算下列极限：
（12）
x???limx1?x2?x??；