1?322所以，生产函数Q?ALK，这时，劳动的边际产量为MPL?ALK3
32dMPL2?53??ALK3?0，说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增加，劳dL92313动的边际产量递减。
141??dMPK21233??AL3K3?0，说明：当劳动使用量即定时，随着同理，MPK?ALK，
3dK9使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。 综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用。
5．令生产函数f（L，K）=a0＋a1(LK)1/2＋a2K＋a3L，其中0≤ai≤1 i=0，1，2，3。 （1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 （2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。 解：（1）根据规模报酬不变的定义f(λL，λK)=λf（L，K）于是有 f(λL，λK)＝a0＋a1(λL)(λK)1/2＋a2(λK)＋a3(λL) ＝a0＋λa1（LK)1/2＋λa2K＋λa3L
＝λ[a0＋a1(LK)1/2＋a2K＋a3L]＋（1－λ）a0 ＝λf（L，K）＋（1－λ）a0
由上式可见：当a0＝0时，对于任何的λ＞0，有f(λL，λK)=λf（L，K）成立， 即当a0＝0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 （2）在规模报酬不变，即a0＝0时，生产函数可以写成 f（L，K）＝a1（LK)1/2＋a2 K＋a3L
相应地，劳动与资本的边际产量分别为：
df(L,K)1MPL(L，K)＝＝a1L-1/2K1/2＋a3，
dL2df(L,K)1MPK(L，K)＝＝a1L1/2K-1/2＋a2，
dK2dMPL(L,K)dMPK(L,K)11-3/21/2
可求：＝- a1LK <0 ， ＝- a1L1/2K1-3/2<0
dLdL44 显然，劳动和资本的边际产量是递减的。
6. 假定某厂商的短期生产函数为Q=f(L,K),给定生产要素价格PL 、PK 和产品价格P,且利润π>0。 证明:该厂商在短期生产的第一阶段不存在利润最大化点。
证明
Q D L2为区域Ⅰ的右界点，设厂商的生产函数为Q=f(K，L)，其中L为可变投入，K为不 C TPL 变投入。由题意，单位产品的价格P和单位生产要素的价格PL及PK都不随产量Q的 第Ⅰ阶段 第Ⅱ阶段 第Ⅲ阶段 B π=PQ-(LPL+KPK) (1) 变化而变化。则利润B′ APL MPL C′ O L1 L2 L3 L d?dQ?P??PL (2) dLdL因为，π＞0，可得PQ＞LPL+KPK (3) 由(3)式两边同时除以LP，得： 又因为在第一区域MPL＞APL，所以得： PKPPdQQMPL?＞?APL?L??K>L(LpL1) dLLPLPPdQPLdQdQ 即:>(LpL1)? P>PL? P->PL>0 dLPdLdLd? 即>0 (L＜L1) dL 这表明利润π将随着可变投入L的增加而增加，且在区域Ⅰ中这一趋势将一直保持到其右界点(即L=L1时), 所以在区域Ⅰ中不存在使利润最大的点。 7. 已知某厂商的固定投入比例的生产函数为Q=min2?L,3K? 。 (1)令PL =1,PK =3。求厂商为了生产120单位产量所使用的K、L 值以及最小成 本。如果要素价格变化为PL =4,PK =2,厂商为了生产120单位产量所使用的 K、L 值以及最小成本又是多少? 请予以比较与说明。
(2)令PL =4,PK =3。求C=180时的K、L 值以及最大产量。
解答：(1)L=3K=120， 解得：L=120， K=40，当 PL =1,PK =3时，最小成本C=120+3X40=240
当PL =4,PK =2时，生产120单位产量所使用的 K、L 值也要满足：L=3K=120， 解得：L=120， K=40。最小成本C=120 X4+40 X2=560。
虽然生产要素价格变了，但是固定投入比例的生产函数反映生产要素之间比例是固定的、不存在替代关系，生产要素之间比例是由生产技术决定的，是技术问题非经济问题，不受生产要素价格的影响。生产一定产量生产要素数量不变。但是生产要素价格变化，故成本变化了。
(2) 由已知可得方程组： 4L?3K?180 解得L=36 ，K=12
L?3K最大产量Q=L=3K=36
8. 已知某厂商使用L 和K 两种要素生产一种产品, 其固定替代比例的生产函数为Q=4L+3K。 (1)作出等产量曲线。
(2)边际技术替代率是多少? (3)讨论其规模报酬情况。
(4)令PL =5,PK =3。求C=90时的K、L 值以及最大产量。 (5)令PL =3,PK =3。求C=90时的K、L 值以及最大产量。 (6)令PL =4,PK =3。求C=90时的K、L 值以及最大产量。 (7)比较 (4)、(5)和 (6),你得到什么结论?
解答：(1) 由生产函数为Q=4L+3K，可得K=
Q4?L 334，是个常数。 3(3) 当所有生产要素使用量变动λ倍时，f(λL，λK)=4λL+3 λK =λf(L，K)，导致产量也变
(2)边际技术替代率为等产量曲线斜率的绝对值，所以MRTSKL=
动λ倍，所以为规模报酬不变。
(4)本题生产函数边际技术替代率为MRTSKL=商预算线的斜率绝对值为
4，给定的厂商预算方程（等成本线）5L＋3K＝90所对应的厂3PL5?,即所有等产量曲线的斜率绝对值小于厂商预算线的斜率绝对值。 PK3K 在此题，厂商的决策原则是厂商预算线（投入成本）既定的情况下，实现最大的产量。 30 A 如图（a）所示，三条平行的等产量曲线K Q1、Q2和Q3的斜率绝对值均小于厂商预算线 等成本线 AB的斜率绝对值，等产量曲线与预算线AB所能达到的最大产量为等产量曲线Q3与厂30 等产量线 商预算线的交点A点，厂商的全部成本都用来使用要素K，要素L的使用量为零。于等成本线 Q1 Q2 Q3 是，厂商的要素使用量为K＝90÷3＝30，L＝0，最大产量Q＝4L＋3K＝4x0＋3X30＝A B（a） L 90。 1 等产量线 在等产量曲线的斜率绝对值小于预算线的斜率绝对值时，即不等式左边表示在保持产Q1 Q2 量不变，厂商在生产中用1单位要素0L1．3 L 单位要素K。不等式右边表示 可以替代约 B（b）在市场上厂商按要素价格可以用1单位要素L换取约1.7单位要素K。因此，厂商自然会全部使用要素K．而要素L的使用量为零。或者，也可以这样理解，不等式左边表示保持产量不变，厂商在生产中用1单位要素K能替代Q．75单位要素L；不等式右边表示在市场上厂商按要素价格用1单位要素K也只能换取0．6单位要素L。由此，厂商自然不会使用要素L，而全部使用要素K，即K＝30，L＝0。
（5）根据题意，如图（b）所示，生产函数Q＝4L＋3K所对应的等产量曲线Q的斜率
4绝对值MRTSKL= ,它大于厂商预算线方程3L+3K=90所对应的预算线的斜率绝对值
33?1，等产量曲线Q2与预算线AB在横轴的交点B是厂商实现最大产量的均衡点。在3B点，厂商的全部成本都用来购买要素L，要素K的使用量为零．于是，厂商的要素L使用量为L＝90／3＝30，K＝0，最大产量Q－4L＋3K－4×30－1＋3x0＝120。 与（4）中的原因相类似，在等产量曲线的斜率绝对值大于预算线的斜率绝对值时，
P3即在>L??1＝时，不等式左边表示在保持产量不变时，厂商在生产中用1单位要
PK3素L可以替代约1．3单位要素K；不等式右边表示在市场上厂商按要素价格可以用1单位要素L换取1
由此，厂商自然会全部使用要素L，而要素K使用量为零，即L＝30，K＝0。 （6）根据题意，生产函数Q＝4L＋3K所对应的等产量曲线Q的斜率绝对值仍然为
P44MRTSKL=刚好等于预算线方程4L＋3K＝90所对应的预算线的斜率绝对值L?，此
PK33时，等产量线Q2与预算线AB重合。这意味着厂商实现最大产量的均衡点可以位于该重合线的任何位置，即有L?0，K?0，且满足预算约束条件4L＋43K＝90。然后，将L和K值代入生产函数4L＋3K＝90得到最大产量为Q＝4L＋3K＝90。
厂商这种选择背后的经济原因是；在等产量曲线的斜率绝对值等于预算线的斜率绝对
44P债时，MRTSKL==L?时，不等式左边表示厂商在生产中用1单位要素L可以替代
3PK3约13单位要素K，且保持产量不变：不等式右边表示在市场上厂商按要素价格也可以用1单位要素L换取1.3单位要素K。因此，厂商总会按照这一固定的比例来购买并在生产中使用要素L和要素K，至于要素L和要素K的具体使用数量是无关紧要的，只要满足预算约束条件C＝4L＋3K＝90就可以了。 （7）比较以上（4），（5）和（6，可以得到一的结论：
①对于固定替代比例的生产函数而言，如果等产量曲线的斜率绝对值小于厂商预算线的斜率绝对值，则厂商生产的均衡点位于等产量曲线与预线在纵轴的交点。 ②如果等产虽曲线的斜率绝对值大于厂商预算线的斜率绝对值，则厂商生产的均衡点位于等产量曲线与预算线在横轴的交点，在以上两种情况中，均衡点为角解，厂商只使用一种要素进行生产，另一种要素使用量为零。
③如果等产量曲线的料率绝对值等于厂商预算线的率对值，即两线重合，则厂商生产的均衡点可以发生在该重合线上的任意位置，只需满定预算约束条件即可。 三、论述题
1.用图说明短期生产函数Q＝f(L，k)的TPL曲线，APL曲线和MPL曲线的特征及其相互之间的关系。
(1)总产量线TP、边际产量线MP和平均产量线AP都是先呈上升趋势，达到本身的最大值以后，再呈下降趋势。见图4-1。 (2) 首先，总产量与边际产量的关系： ① MP=TP′(L, K)，TP(L，k)= ∫MPLdL
②MP等于TP对应点的斜率，边际产量线是总产量线上各点的斜率值曲线。
③MP＝0时， TP最大；边际产量线与横轴相交。MP >0 时， TP递增； MP <0 时， TP递减。
其次，平均产量与边际产量关系。
AP?(L)?(TPTP?L?TP1)???(MP?AP)LL2L①若MP＞AP，则AP递增；边际产量大于平均产量时，平均产量上升。 ②若MP＜AP，则AP递减；边际产量小于平均产量时，平均产量下降。 ③若MP＝AP，则AP 最大。MP交AP的最高点。 最后，总产量与平均产量的关系。
TP①AP=
L②原点与TP上一点的连线的斜率值等于该点的AP。 ③从原点出发,与TP相切的射线，切点对应AP最大。
Q D C TPL 第Ⅰ阶段 第Ⅱ阶段 第Ⅲ阶段 B B′