上海市位育中学第二学期高二期中考试数学卷
一、填空题（每题3分，共42分）
1、i是虚数单位，i2015?i2016?____________．
2、正四面体相邻两个面所成的二面角的大小为____________． 3、若复数z满足z?i(2?z)(i是虚数单位)，则z的模等于____________．
4、正三棱柱ABC—A’B’C’的A’A?AB?2，则点A到BC’的距离为____________． 5、在复数范围内，纯虚数i的三个立方根为____________．
6、已知长方体的对角线的长为29，长、宽、高之和为9，则此长方体的表面积为________． 7、一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线与底面所成角大小为____________． 8、实系数一元二次方程x2?ax?b?0有一个虚数根的模为2，则a的取值范围是____________．
9、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB?2，CC1?22，E为棱CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为____________．
10、在复平面上，已知正方形OABC(按逆时针方向，O表示原点)中的一个顶点B对应的复数为1?2i，则BC所对应的复数z?____________．
11、PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD为定长，当AB的长度变化时，异面直线PC与AD所
成角的取值范围是____________．
212、已知关于x的方程x?zx?1?2i?0有实根，则复数z的模的最小值为____________．
13、已知三棱锥底面是正三角形，给出下列条件：
(1) 三条侧棱长相等；
(2) 三个侧面都是等腰三角形；
(5) 三个侧面
y B y y?1?x2(0?x?1) (3) 三条侧棱两两垂直；
(4) 三个侧面与底面所成的角相等； 都是等边三角形．
其中使三棱锥成为正三棱锥的充要条件的有．．．．______________（写出所有正确条件的序号）． 14、在xOy平面上，将抛物线弧y?1?x(0?x?1)、x轴、y轴
围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0,y)(0?y?1)作Ω的水平截面， 所得截面面积为(1?y)?，
2
O A x 试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为____________．
二、选择题（每题3分，共12分） 15、给出下列命题：
(1) 底面是矩形的平行六面体是长方体；(2) 底面是正方形的直平行六面体是正四棱柱； (3) 底面是正方形的直四棱柱是正方体；(4) 所有棱长都相等的直平行六面体是正方体． 以上命题中正确命题的个数是 A．1
B．2
C．3
D．4
( )
16、已知?、?是两个不同的平面，m为平面?内的一条直线，则“???”是“m??”的 ( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
( )
17、下列命题中，正确的是
A．若z是复数，则|z|2?z2
B．任意两个复数不能比较大小
C．当b2?4ac>0时，一元二次方程ax2?bx?c?0(a、b、c?C)有两个不相等的实数根 D．在复平面xOy上，复数z?m2?mi(m?R，i是虚数单位)对应的点的轨迹方程是y2?x 18、复数z满足方程|z?1|?|z?i|?2，那么它在复平面内所表示的图形是
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
( )
三、解答题（本大题共五题，满分46分） 19、（本题满分6分）
关于复数z的方程z2?(a?i)z?(i+2)?0(a?R)．证明对任意的实数a，原方程不可能有纯虚数根．
A B E
C F P
20、（本题满分8分，第1小题3分，第2小题5分）
正三棱锥P?ABC的侧面是底边长为a，顶角为30°的等腰三角形．过点A作这个三棱锥的截面AEF，点E、F分别在棱PB、PC上．
(1) 如图，作出平面AEF与平面ABC的交线；
(2) ?AEF周长的最小值是否存在？若存在，求出其最小值，并指出此时直线BC与平面AEF的位置关系；若不存在，请说明理由．
21、（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
如图，长宽高分别为a、b、c的长方体的六条面对角线组成等腰四面体ABCD． (1) 求证等腰四面体ABCD的每个面都是锐角三角形； (2) 求等腰四面体的体积及其外接球的表面积．
B H E
C
G A D F