课时作业(二十) 对数函数的图象及性质
一、选择题
541
1．如图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取5，，，，则相应于C1，C2，C3，
358
C4的a的值依次是( )
145
A.，，，5 853541
B.5，，， 358541C.，5，， 358514D.5，，， 385答案：B
2．函数y＝ln(1－x)的图象大致为( )
答案：C 解析：函数的定义域为(－∞，1)且在定义域上单调递减，故选C.
??2e，x＜2，
3．设f(x)＝?2
?log3x－，x≥2，?
x－1
则f(f(2))＝( )
A．2 B．3 C．9 D．18
1
答案：A 解析：由题意可知，f(2)＝log3(2－1)＝log33＝1. 所以f(f(2))＝f(1)＝2e
1－1
2
＝2.
4．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a C．a>c>b
B．b>c>a D．a>b>c
1
答案：D 解析：∵log36＝1＋log32＝1＋，
log231
log510＝1＋log52＝1＋，
log251
log714＝1＋log72＝1＋，
log27又1
111>>， log23log25log27
?2－1?的图象关于( )
?
?1＋x?
B．y轴对称 D．直线y＝x对称
A．原点对称 C．x轴对称
答案：A 解析：函数f(x)＝lg?
?2－1?＝lg 1－x的定义域(－1,1)关于原点对称，
?1＋x?1＋x?
1－－x1＋x?1－x?－1＝－lg1－x＝－f(x)，
且f(－x)＝lg ＝lg ＝lg?所以该函数为奇函?1＋－x1－x1＋x?1＋x?数，其图象关于原点对称．
1?1?6．若?loga?＝loga，且|logba|＝－logba，则a，b满足的关系式是 ( )
4?4?A．a>1，且b>1 C．b>1，且0 7．函数f(x)＝lg(x－1)＋5－x的定义域为________． ??x－1>0， 答案：(1,5] 解析：由? ??5－x≥0， B．a>1，且0 解得1 ?1?8．设函数f(x)＝f??·lg x＋1，则f(10)＝________. x?? ?1?答案：1 解析：令x＝10，得f(10)＝f??＋1，① ?10? 2 1?1?令x＝，得f??＝f(10)·(－1)＋1，② 10?10?由①②，得f(10)＝1. 9．若定义在区间(－1,0)内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是________． ?1?答案：?0，? 解析：当－1＜x＜0时，0＜x＋1＜1， ?2? 又f(x)＝log2a(x＋1)＞0， 1 ∴0＜2a＜1，则0＜a＜. 2 10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足 f(x)>0的x的取值范围是________． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 解析：由已知条件可得函数f(x)的解析式为f(x)＝lg x，>0，?? ?0，x＝0，?－x，x<0，?－ 其图象如图所示． 由函数图象可得，不等式f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 三、解答题 11．求下列函数的值域： (1)y＝log2(x＋4)； (2)y＝log1 (3＋2x－x)． 2 解：(1)y＝log2(x＋4)的定义域为R， ∵x＋4≥4，∴log2(x＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x＋4)的值域为{y|y≥2}． (2)设u＝3＋2x－x，则u＝－(x－1)＋4≤4. ∵u＞0，∴0＜u≤4， 2 2 2 2 2 2 2 2 3 又∵y＝log1 u在(0，＋∞)上是减函数， 2∴log1 u≥log1 4＝－2， 22 ∴y＝log1 (3＋2x－x)的值域为{y|y≥－2}． 21＋x12．已知f(x)＝loga(a>0且a≠1)． 1－x(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并证明． 1＋x1＋x解：(1)∵函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)，可得＞0，即(1＋x)(1－x)＞0， 1－x1－x解得－1＜x＜1， 故函数f(x)的定义域为(－1,1)． (2)f(x)为奇函数．证明如下： 由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 1－x1＋x且f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)， 1＋x1－x故函数f(x)为奇函数． 13．作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象． 解：第一步：作出y＝log2x的图象，如图①. 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位得到y＝log2(x＋1)的图象，如图②. 第三步：将log2(x＋1)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图③. 第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象，如图④. 2 尖子生题库 14．已知函数f(x)＝ln(ax＋2x＋1)，g(x)＝log1 (x－4x－5)． 2 2 2 4 (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围； (3)求函数g(x)的递减区间． 解：(1)若f(x)的定义域为R，则y＝ax＋2x＋1的图象恒在x轴的上方，∴ ??a>0，???Δ＝4－4a<0， 2 ∴a>1. 2 (2)若f(x)的值域为R，则y＝ax＋2x＋1的图象一定要与x轴有交点，∴a＝0或 ??a>0，? ?Δ＝4－4a≥0，? ∴0≤a≤1. (3)函数g(x)的定义域为{x︱x<－1或x>5}， 由复合函数单调性的“同增异减”法则，可知函数g(x)的单调递减区间为(5，＋∞)． 5